Wartość oczekiwana

Wartość oczekiwana( wartość średnia, wartość przeciętna ) jest wartością spodziewaną w doświadczeniu losowym, czyli w takim gdzie nie możemy z całkowitą pewnością określić wyniku. Wartość oczekiwana jest najprostszym i najczęściej wykorzystywanym narzędziem służącym do analizy danych. Zazwyczaj wartość oczekiwaną zapisuje się jako EX lub E(X) gdzie X jest podanym rozkładem zmiennej losowej.

 

Nawet w podstawówce, na koniec roku przy wystawianiu ocen, dzieci używają wartości oczekiwanej by wyliczyć swoją spodziewaną ocenę. Skoro uczeń ma 3, 4 i 5 to wychodzi mu, że na koniec roku powinien dostać 4. Oczywiście nie zawsze dostanie 4. Wartość oczekiwana jest wartością spodziewaną, ale rzeczywistość może być inna. Jednakże typując wartość oczekiwaną jako wynik zdarzenia losowego pomylimy się najmniej - tzn. wykonując kilka prób okaże się, że wartość oczekiwana jest najbardziej zbliżona rzeczywistości, czyli generuje najmniejszy błąd.

 

Do policzenia wartości oczekiwanej używa się następujących wzorów:

rozkład dyskretny ( rozkład punktowy )

 \Large EX = \sum\limits_{i=1}^n x_{i} \cdot P(X = x_{i} ) = \sum\limits_{i=1}^n x_{i} \cdot p_{i}

 x_{i} - wartość i-tej obserwacji

 p_{i} = P( X = x_{i} ) - prawdopodobieństwo wystąpienia i-tej obserwacji

Jeżeli obserwacje są po prostu wypisane( nie ma podanych prawdopodobieństw ich wystąpienia) to wtedy wzór skraca się do średniej arytmetycznej:

 \Large EX = \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n x_{i} = \dfrac{x_{1}+ \ldots + x_{n}}{n}

 

rozkład ciągły

 \Large EX = \int\limits_\Omega \, x \cdot f(x)dx

 f(x) - rozkład zmiennej X

 \Omega - przestrzeń zdarzeń losowych, zbiór x-ów które mogą zajść. Np. jeżeli nasz rozkład jest określony na przedziale  \Omega = (1,5) to przestrzenią zdarzeń losowych jest przedział od 1 do 5 (1,5). Wtedy wartość oczekiwana będzie wyrażała się wzorem:

 \Large EX = \int\limits^5_1 \, x \cdot f(x)dx

 

Rozkład mieszany

Rozkład mieszany jest połączeniem rozkładu ciągłego i rozkład dyskretnego. Rozkład mieszany wygląda jak rozkład ciągły ze skokiem. Liczba skoków może być dowolna.

 \Large EX = \int\limits_\Omega \, x \cdot f(x)dx +\sum\limits_{i=1}^n x_{i} \cdot P(X = x_{i} )

Całka odpowiada za część ciągłą rozkładu, a suma za część dyskretną, czyli skoki.

2 comments:

  1. Tak trzymaj, świetnie pisana strona. Nawet na poziomie akademickim się sprawdza idealnie :)

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.