\(\)

Wartość oczekiwana( wartość średnia, wartość przeciętna ) jest wartością spodziewaną w doświadczeniu losowym, czyli w takim gdzie nie możemy z całkowitą pewnością określić wyniku. Wartość oczekiwana jest najprostszym i najczęściej wykorzystywanym narzędziem służącym do analizy danych. Zazwyczaj wartość oczekiwaną zapisuje się jako EX lub E(X) gdzie X jest podanym rozkładem zmiennej losowej.

Nawet w podstawówce, na koniec roku przy wystawianiu ocen, dzieci używają wartości oczekiwanej by wyliczyć swoją spodziewaną ocenę. Skoro uczeń ma 3, 4 i 5 to wychodzi mu, że na koniec roku powinien dostać 4. Oczywiście nie zawsze dostanie 4. Wartość oczekiwana jest wartością spodziewaną, ale rzeczywistość może być inna. Jednakże typując wartość oczekiwaną jako wynik zdarzenia losowego pomylimy się najmniej – tzn. wykonując kilka prób okaże się, że wartość oczekiwana jest najbardziej zbliżona rzeczywistości, czyli generuje najmniejszy błąd.

Do policzenia wartości oczekiwanej używa się następujących wzorów:

rozkład dyskretny ( rozkład punktowy )
\( EX = \sum\limits_{i=1}^n x_{i} \cdot P(X = x_{i} ) = \sum\limits_{i=1}^n x_{i} \cdot p_{i} \)

\( x_{i} \) – wartość i-tej obserwacji

\( p_{i} = P( X = x_{i} ) \) – prawdopodobieństwo wystąpienia i-tej obserwacji

Jeżeli obserwacje są po prostu wypisane( nie ma podanych prawdopodobieństw ich wystąpienia) to wtedy wzór skraca się do średniej arytmetycznej:

\( EX = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n x_{i} = \frac{x_{1}+ \ldots + x_{n}}{n} \)

rozkład ciągły
\( EX = \int\limits_\Omega \, x \cdot f(x)dx \)

\( f(x) \) – rozkład zmiennej X

\( \Omega \) – przestrzeń zdarzeń losowych, zbiór x-ów które mogą zajść. Np. jeżeli nasz rozkład jest określony na przedziale \( \Omega = (1,5) \) to przestrzenią zdarzeń losowych jest przedział od 1 do 5 (1,5). Wtedy wartość oczekiwana będzie wyrażała się wzorem:

\( EX = \int\limits^5_1 \, x \cdot f(x)dx \)

Rozkład mieszany
Rozkład mieszany jest połączeniem rozkładu ciągłego i rozkład dyskretnego. Rozkład mieszany wygląda jak rozkład ciągły ze skokiem. Liczba skoków może być dowolna.

\( EX = \int\limits_\Omega \, x \cdot f(x)dx +\sum\limits_{i=1}^n x_{i} \cdot P(X = x_{i} ) \)

Całka odpowiada za część ciągłą rozkładu, a suma za część dyskretną, czyli skoki.

Najważniejsze własności wartości oczekiwanej

X, Y – zmienne z dowolnych rozkładów
a – dowolna liczba

1. \( E(X+Y) = EX + EY \)

2. \( E(a \cdot X) = a \cdot EX \)

3. \( E(X \cdot Y) = EX \cdot EY\)  tylko gdy X i Y są niezależne

Warto również sprawdzić teorię i zadania z wariancji

Zadania

Zadanie 1

Oblicz wartość oczekiwaną dla podanego szeregu rozdzielczego

Wartość \( X_{i} \)	2	3	5	10	11	12
Prawdopodobieństwo \( p_{i} \)	0.25	0.05	0.1	0.1	0.3	0.2

Zadanie 2

X jest zmienną z rozkładu normalnego N(2,4). Oblicz wartość oczekiwaną zmiennej \( Y = 3X + 2 \)

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 3

Oblicz wartość oczekiwaną zmiennej X o rozkładzie jednostajnym na przedziale od 1 do 3.

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 4

Oblicz wartość oczekiwaną rozkładu:

\( f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac{1}{12}x , } & { 1 \leq x \leq 5 } \\ { 0, } & { poza }  \end{array} \right. \)

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 5

Dla podanej funkcji gęstości prawdopodobieństwa oblicz wartość oczekiwaną.

\( f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 2sinx , } & { 0 \leq x \leq \frac{\pi}{3} } \\ { 0, } & { poza }  \end{array} \right. \)

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 6

Oblicz wartość oczekiwaną podanego rozkładu:

\( f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac{1}{2} , } & { x \in [0,1] } \\ { \frac{1}{8}x, } & { x \in (1,3] }  \\ { 0, } & { poza }  \end{array} \right. \)

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 7

Oblicz wartość oczekiwaną rozkładu wykładniczego danego wzorem:

\( f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \lambda e^{-\lambda x}, } & { x \geq 0 } \\ { 0, } & { poza }  \\   \end{array} \right. \)

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 8

Oblicz wartość oczekiwaną jednego rzutu sześcienną kostką.

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 9

Oblicz wartość oczekiwaną rozkładu Poissona danego wzorem:

\( P(X=k) = \frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!} \)     dla k = 0, 1, 2, \( \ldots \)

Treść dostępna po zalogowaniu