Rozkład chi2- wprowadzenie

\(\)

Rozkład chi2 (chi kwadrat) jest rozkładem zmiennej losowej powstałym z rozkładu normalnego w poniższy sposób:

Niech \( X_{i} \sim N(0,1) \) dla i = 1, 2, … k będą zmiennymi niezależnymi wtedy zmienna rozkładu chi kwadrat o k stopniach swobody \( \Large \chi^{2}_{k} \) wyraża się wzorem:

\( \chi^{2}_{k} = \sum\limits_{i=1}^k X^{2}_{i}\)

Wykres rozkładu chi kwadrat

rozklad_chi2_3Cechy rozkładu Chi2

Z rysunku widać, że rozkład chi kwadrat jest rozkładem nieujemnym, o asymetrii prawostronnej (dłuższy prawy ogon rozkładu). Im większe k tym wykres jest bardziej spłaszczony i dłuższy- ogon rozkładu “wolniej opada”.

Gdzie wykorzystywany jest rozkład chi2?

Rozkład chi2 wykorzystywany jest przy analizie wariancji ( m.in. do wyliczenia prawdopodobieństwa, że wariancja spełnia jakiś warunek, przy wyznaczaniu poziomu ufności dla wariacji lub przy testowaniu hipotez dla wariancji) oraz przy testach m.in. test zgodności lub test niezależności.

Zadanie 1

Zmienna \( \chi_{25}^{2} \) ma rozkład Chi kwadrat z 25 stopniami swobody.

Znajdź takie t że:

1. \( F(t) = 0.95\)

2. \( F(t) = 0.1\)

3. \(1- F(t) = 0.1\)

4. \(1- F(t) = 0.01\)

Gdzie F jest dystrybuantą tego rozkładu.

Zadanie 2

Zmienna \( \chi^{2} \) ma rozkład Chi kwadrat z 18 stopniami swobody. Wyznacz:

  1. \( P(8.23 \leq \chi_{18}^{2} \leq 37.16) \)
  2. \( P(6.26 \leq \chi_{18}^{2} \leq 31.53) \)

Komentarze:

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.