Rozkład dwumianowy (w Polsce nazywany również rozkładem Bernouliego) to rozkład prawdopodobieństwa opisujący liczbę sukcesów k w n próbach przy stałym prawdopodobieństwie sukcesu p. Prawdopodobieństwo wyliczamy na podstawie wzoru: \(\)

\( P(X_{n} = k) = {n\choose k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k} \)

gdzie \({n\choose k} = \frac{n!}{(n-k)! \cdot k!}\)
\( k! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot … \cdot k \)

Interpretacja wzoru:

Załóżmy, że mamy n – zdarzeń takich, że pierwszych k – prób to sukcesy, a pozostałe (czyli n – k) próby to porażki. Prawdopodobieństwo takiego zdarzenia wynosi \( p^{k} \cdot (1-p)^{n-k} \).
W powyższym przypadku założyliśmy określony układ sukcesów i porażek jednak licząc prawdopodobieństwo k – sukcesów w n-próbach sukcesy i porażki mogą się dowolnie przeplatać (tak aby wyszło k sukcesów i n-k porażek) dlatego uzyskane prawdopodobieństwo (które jest takie samo dla każdej kombinacji k sukcesów i n-k porażek) musimy przemnożyć przez ilość kombinacji k sukcesów i n-k porażek. Do tego służy symbol Newtona \( {n\choose k} \), który oznacza liczbę możliwości wylosowania k sukcesów z
n prób, czyli dokładnie to o co nam chodziło.

Podstawowe własności rozkładu dwumianowego:

• Wartość oczekiwana \( EX = np \)
  Przykład: prawd. wyrzucenia reszki wynosi 0.5.
  Rzucając 10 razy spodziewamy się 10 x 0.5 = 5 reszek
  
• Wariancja \( VarX = np(1-p) \)
  Ze wzoru wynika, że największa wariancja jest dla p = 0.5.
  Dodatkowo wariancja dla p = 0.5 – y oraz dla p = 0.5 + y jest taka sama
  co oznacza, że wariancja jest symetryczna względem p = 0.5.
  Wynika to z faktu, że we wzorze na wariancję mamy zarówno p – prawd. sukcesu jak i (1-p) – prawd. porażki. Łatwo to sprawdzić np. dla p = 0.25 i p = 0.75 (w obu przypadkach otrzymamy \(0.1875 \cdot n \) )
• Prawo zdarzeń rzadkich- wyjaśnione w tym wpisie

Zadanie 1
W pewnej fabryce produkuje się 2 gatunki danego produktu: 40% produkcji to wyrób I gatunku, natomiast pozostała część to wyrób II gatunku. Odbiorca planuje zakupić 5 losowych produktów. Oblicz prawdopodobieństwo, że:

1. Dokładnie 2 produkty będą z I gatunku
2. Co najmniej 2 produkty będą z I gatunku
3. jakiej średniej liczby wyrobów I gatunku może spodziewać się odbiorca jeśli zakupi 200 sztuk wyrobów?

Zadanie 2
Zmienna losowa ma rozkład dwumianowy ze średnią 12 i wariancją 4.
Oblicz n oraz p.

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 3
Rzucamy 4 razy kostką. Oblicz prawdopodobieństwo, że:

1. Dokładnie raz wypadnie 3
2. Co najmniej 2 razy wypadnie liczba parzysta

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 4
Wiadomo, iż 30% populacji pewnej rasy psów dotkniętych jest wrodzoną wadą– dysplazją stawów biodrowych. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej będącej liczbą szczeniąt obarczonych wadą w miocie liczącym 4 szczenięta. Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej, obliczyć wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe.
Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 5

Z obserwacji branży spożywczej wiadomo, że 40% nowo powstałych sklepów spożywczych, które nie mają pozwolenia na sprzedaż produktów monopolowych bankrutuje w pierwszym roku swojej działalności. Wybrano losowo 5 takich sklepów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że:

1. Co najmniej 2 z nich przetrwają na rynku dłużej niż 1 rok

2. Dokładnie jeden z nich zbankrutuje w ciągu roku

3. Więcej niż jeden, ale co najwyżej 4 będą funkcjonować dłużej niż rok

4. Wyznaczyć i narysować rozkład prawdopodobieństwa

5. Wyznaczyć i narysować dystrybuantę

Treść dostępna po zalogowaniu