Szereg przedziałowy oznacza, że dane zostały przedstawione za pomocą przedziałów. \(\) Szereg przedziałowy przydaje się gdy mamy zbiory o zróżnicowanych wartościach (ponieważ szereg rozdzielczy miałby za dużo możliwości, np. wzrost w populacji lepiej przedstawić na przedziałach niż punktowo). W zależności czy interesują nas ilości \( n_{i} \), czy częstości \( \omega_{i} \) możemy skonstruować odpowiednio szereg przedziałowy ilościowy oraz szereg przedziałowy częstości.
Jak zbudować szereg przedziałowy?
Skonstruuj szereg przedziałowy (ilościowy i częstości) zarobków w danej firmie jeżeli zarobki pracowników przestawiają się następująco:
2300, 2300, 2400, 2800, 3200, 3500, 2000, 4000, 4500, 5000, 6600, 6200, 6100
Kolejne przedziały zarobków zaczynają się od pełnego tysiąca. Mamy rozpiętość zarobków od 2000 do 6600 co oznacza, że będziemy mieć poniższe przedziały zarobków:
\( [2000, 3000) \), \( [3000, 4000) \), \( [4000, 5000) \), \( [5000, 6000) \), \( [6000, 7000) \)
Najpierw zbudujemy szereg przedziałowy ilościowy: Aby stworzyć szereg przedziałowy należy zliczyć ile obserwacji trafia do każdego przedziału:
| Przedział zarobków (w tys.) | \( [2, 3) \) | \( [3, 4) \) | \( [4, 5) \) | \( [5, 6) \) | \( [6, 7 \) |
|---|---|---|---|---|---|
| Liczba pracowników \( n_{i} \) | 5 | 2 | 2 | 1 | 3 |
Warto zawsze sprawdzić czy suma obserwacji w tabelce zgadza się z rzeczywistą liczbą obserwacji. W tym przypadku się zgadza i wynosi \( n = 13\) Teraz policzmy szereg przedziałowy częstości: W tym celu skorzystamy z wzoru na częstość:
\( \omega_{i} = \frac{n_{i}}{n} \)
| Przedział zarobków (w tys.) | \( [2, 3) \) | \( [3, 4) \) | \( [4, 5) \) | \( [5, 6) \) | \( [6, 7) \) |
|---|---|---|---|---|---|
| % prac. \( \omega_{i} \) | \( \frac{5}{13} \) | \( \frac{2}{13} \) | \( \frac{2}{13} \) | \( \frac{1}{13} \) | \( \frac{3}{13} \) |
Wzory dla szeregu przedziałowego
Wzory zostały podane zarówno dla szeregu przedziałowego ilościowego jak i szeregu przedziałowego częstości.
Szereg przedziałowy średnia:
(więcej o średniej)
\( \overline{X} = \frac{1}{n} \sum \overline{X}_{i} \cdot n_{i} \)
\( \overline{X}= \sum \overline{X}_{i} \cdot \omega_{i} \)
\( n \) – ilość obserwacji
\( n_{i} \) – liczebność i-tego przedziału
\( \omega_{i} \) – częstość i-tego przedziału
\( \overline{X}_{i} \) – wartość środkowa i-tego przedziału
Szereg przedziałowy mediana:
(więcej o medianie)
\( Me = X_{Me}+ \frac{ poz.Me – n_{Me sk – 1} }{n_{Me}} \cdot h_{Me} \)
\( Me = X_{Me}+ \frac{ poz.Me – \omega_{Me sk – 1} }{\omega_{Me}} \cdot h_{Me} \)
\( X_{Me} \) – lewy koniec przedziału z Medianą
\( poz.Me = \frac{n}{2} \) dla szeregu ilościowego albo \( \omega_{i} \) dla szeregu częstości,
\( n_{Me} \) / \( \omega_{Me} \) – liczebność / częstość przedziału z Medianą
\( n_{Me sk-1} \) / \( \omega_{Me sk-1} \) – liczebność / częstość skumulowana przedziału przed przedziałem z Medianą
\( h_{Me} \) – długość przedziału z Medianą
Szereg przedziałowy dominanta:
(więcej o dominancie)
Aby w szeregu przedziałowym istniała dominanta musi istnieć jeden najliczniejszy przedział!
\( D = x_{D} + \frac{ n_{D}-n_{D-1} }{ (n_{D}-n_{D+1})+ ( n_{D}-n_{D-1} ) } \cdot h_{D} \) \( D = x_{D} + \frac{ \omega_{D}-\omega_{D-1} }{ (\omega_{D}-\omega_{D+1})+ ( \omega_{D}-\omega_{D-1} ) } \cdot h_{D} \)
\( x_{D} \) – lewy koniec przedziału z Dominantą
\( n_{D} \) / \( \omega_{D} \)- liczebność / częstość przedziału z Dominantą
\( h_{D} \) – długość przedziału z Dominantą
\( n_{D-1} \) / \( \omega_{D-1} \) – liczebność / częstość przedziału przed przedziałem z Dominantą
\( n_{D+1} \) / \( \omega_{D+1} \) – liczebność / częstość przedziału po przedziale z Dominantą
Wzory na dominantę w szeregu przedziałowym działają gdy mamy przedziały równej długości!
Zadania dla szeregu przedziałowego
Zadanie 1
W tabeli zostały przedstawione zarobki w firmie informatycznej. Oblicz średnią, odchylenie standardowe, medianę oraz dominantę:
| Przedział zarobków (w tys. zł) | 1-3 | 3-5 | 5-7 | 7-9 | 9-11 |
|---|---|---|---|---|---|
| % pracowników | \( \frac{2}{23} \) | \( \frac{3}{23} \) | \( \frac{10}{23} \) | \( \frac{7}{23} \) | \( \frac{1}{23} \) |
Zadanie 2
Liczba nieobecności w pewnej klasie kształtuje się następująco:
| L. nieobecności | [0, 4) | [4, 8) | [8, 12) | [12, 16) | [16, 20) |
|---|---|---|---|---|---|
| L. uczniów | 2 | 15 | 3 | 6 | 4 |
Oblicz średnią, odchylenie standardowe, medianę, dominantę, współczynnik asymetrii oraz współczynnik zmienności.