Szereg przedziałowy

Szereg przedziałowy oznacza, że dane zostały przedstawione za pomocą przedziałów. \(\) Szereg przedziałowy przydaje się gdy mamy zbiory o zróżnicowanych wartościach (ponieważ szereg rozdzielczy miałby za dużo możliwości, np. wzrost w populacji lepiej przedstawić na przedziałach niż punktowo). W zależności czy interesują nas ilości \( n_{i} \), czy częstości \( \omega_{i} \) możemy skonstruować odpowiednio szereg przedziałowy ilościowy oraz szereg przedziałowy częstości.

Jak zbudować szereg przedziałowy?

Skonstruuj szereg przedziałowy (ilościowy i częstości) zarobków w danej firmie jeżeli zarobki pracowników przestawiają się następująco:

2300, 2300, 2400, 2800, 3200, 3500, 2000, 4000, 4500, 5000, 6600, 6200, 6100

Kolejne przedziały zarobków zaczynają się od pełnego tysiąca. Mamy rozpiętość zarobków od 2000 do 6600 co oznacza, że będziemy mieć poniższe przedziały zarobków:

\( [2000, 3000) \), \( [3000, 4000) \), \( [4000, 5000) \), \( [5000, 6000) \), \( [6000, 7000) \)

Najpierw zbudujemy szereg przedziałowy ilościowy: Aby stworzyć szereg przedziałowy należy zliczyć ile obserwacji trafia do każdego przedziału:

Przedział zarobków (w tys.)\( [2, 3) \)\( [3, 4) \)\( [4, 5) \)\( [5, 6) \)\( [6, 7 \)
Liczba pracowników \( n_{i} \)52213

Warto zawsze sprawdzić czy suma obserwacji w tabelce zgadza się z rzeczywistą liczbą obserwacji. W tym przypadku się zgadza i wynosi \( n = 13\) Teraz policzmy szereg przedziałowy częstości: W tym celu skorzystamy z wzoru na częstość:

\( \omega_{i} = \frac{n_{i}}{n} \)

Przedział zarobków (w tys.)\( [2, 3) \)\( [3, 4) \)\( [4, 5) \)\( [5, 6) \)\( [6, 7) \)
% prac. \( \omega_{i} \)\( \frac{5}{13} \)\( \frac{2}{13} \)\( \frac{2}{13} \)\( \frac{1}{13} \)\( \frac{3}{13} \)

Wzory dla szeregu przedziałowego

Wzory zostały podane zarówno dla szeregu przedziałowego ilościowego jak i szeregu przedziałowego częstości.

Szereg przedziałowy średnia:

(więcej o średniej)

\( \overline{X} = \frac{1}{n} \sum \overline{X}_{i} \cdot n_{i} \)

\( \overline{X}= \sum \overline{X}_{i} \cdot \omega_{i} \)

\( n \) – ilość obserwacji

\( n_{i} \) – liczebność i-tego przedziału

\( \omega_{i} \) – częstość i-tego przedziału

\( \overline{X}_{i} \) – wartość środkowa i-tego przedziału

Szereg przedziałowy mediana:

(więcej o medianie)

\( Me = X_{Me}+ \frac{ poz.Me – n_{Me sk – 1} }{n_{Me}} \cdot h_{Me} \)

\( Me = X_{Me}+ \frac{ poz.Me – \omega_{Me sk – 1} }{\omega_{Me}} \cdot h_{Me} \)

\( X_{Me} \) – lewy koniec przedziału z Medianą

\( poz.Me = \frac{n}{2} \) dla szeregu ilościowego albo \( \omega_{i} \) dla szeregu częstości,

\( n_{Me} \) / \( \omega_{Me} \) – liczebność / częstość przedziału z Medianą

\( n_{Me sk-1} \) / \( \omega_{Me sk-1} \) – liczebność / częstość skumulowana przedziału przed przedziałem z Medianą

\( h_{Me} \) – długość przedziału z Medianą

Szereg przedziałowy dominanta:

(więcej o dominancie)

Aby w szeregu przedziałowym istniała dominanta musi istnieć jeden najliczniejszy przedział!

\( D = x_{D} + \frac{ n_{D}-n_{D-1} }{ (n_{D}-n_{D+1})+ ( n_{D}-n_{D-1} ) } \cdot h_{D} \) \( D = x_{D} + \frac{ \omega_{D}-\omega_{D-1} }{ (\omega_{D}-\omega_{D+1})+ ( \omega_{D}-\omega_{D-1} ) } \cdot h_{D} \)

\( x_{D} \) – lewy koniec przedziału z Dominantą

\( n_{D} \) / \( \omega_{D} \)- liczebność / częstość przedziału z Dominantą

\( h_{D} \) – długość przedziału z Dominantą

\( n_{D-1} \) / \( \omega_{D-1} \) – liczebność / częstość przedziału przed przedziałem z Dominantą

\( n_{D+1} \) / \( \omega_{D+1} \) – liczebność / częstość przedziału po przedziale z Dominantą

Wzory na dominantę w szeregu przedziałowym działają gdy mamy przedziały równej długości!

Zadania dla szeregu przedziałowego

Zadanie 1

W tabeli zostały przedstawione zarobki w firmie informatycznej. Oblicz średnią, odchylenie standardowe, medianę oraz dominantę:

Przedział zarobków (w tys. zł)1-33-55-77-99-11
% pracowników\( \frac{2}{23} \)\( \frac{3}{23} \)\( \frac{10}{23} \)\( \frac{7}{23} \)\( \frac{1}{23} \)

Dalsza część treści jest płatna. Dokonaj zakupu lub zaloguj się

Regulamin dostępny tutaj

Sprawdź korepetycje online

Zaloguj się lub Wykup
Sprawdź Wykup
Anuluj
30dniowy abonament, 39zł
Abonament do końca sesji, 49zł
1h korepetycji 60zł
Odblokuj dostęp do wszystkich treści na 30 dni.
Sprawdź
Odblokuj dostepDokonując zamówienia potwierdzasz zapoznanie się z regulaminem
Odblokuj dostęp do wszystkich treści do końca sesji (14.07)
Sprawdź
Odblokuj dostepDokonując zamówienia potwierdzasz zapoznanie się z regulaminem
Wykup godzinne korepetycje online: 60zł
Sprawdź
WykupDokonując zamówienia potwierdzasz zapoznanie się z regulaminem
Anuluj

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.