Szereg przedziałowy

Szereg przedziałowy oznacza, że dane zostały przedstawione za pomocą przedziałów. \(\) Szereg przedziałowy przydaje się gdy mamy zbiory o zróżnicowanych wartościach (ponieważ szereg rozdzielczy miałby za dużo możliwości, np. wzrost w populacji lepiej przedstawić na przedziałach niż punktowo). W zależności czy interesują nas ilości \( n_{i} \), czy częstości \( \omega_{i} \) możemy skonstruować odpowiednio szereg przedziałowy ilościowy oraz szereg przedziałowy częstości.

Jak zbudować szereg przedziałowy?

Skonstruuj szereg przedziałowy (ilościowy i częstości) zarobków w danej firmie jeżeli zarobki pracowników przestawiają się następująco:

2300, 2300, 2400, 2800, 3200, 3500, 2000, 4000, 4500, 5000, 6600, 6200, 6100

Kolejne przedziały zarobków zaczynają się od pełnego tysiąca. Mamy rozpiętość zarobków od 2000 do 6600 co oznacza, że będziemy mieć poniższe przedziały zarobków:

\( [2000, 3000) \), \( [3000, 4000) \), \( [4000, 5000) \), \( [5000, 6000) \), \( [6000, 7000) \)

Najpierw zbudujemy szereg przedziałowy ilościowy: Aby stworzyć szereg przedziałowy należy zliczyć ile obserwacji trafia do każdego przedziału:

Przedział zarobków (w tys.)\( [2, 3) \)\( [3, 4) \)\( [4, 5) \)\( [5, 6) \)\( [6, 7 \)
Liczba pracowników \( n_{i} \)52213

Warto zawsze sprawdzić czy suma obserwacji w tabelce zgadza się z rzeczywistą liczbą obserwacji. W tym przypadku się zgadza i wynosi \( n = 13\) Teraz policzmy szereg przedziałowy częstości: W tym celu skorzystamy z wzoru na częstość:

\( \omega_{i} = \frac{n_{i}}{n} \)

Przedział zarobków (w tys.)\( [2, 3) \)\( [3, 4) \)\( [4, 5) \)\( [5, 6) \)\( [6, 7) \)
% prac. \( \omega_{i} \)\( \frac{5}{13} \)\( \frac{2}{13} \)\( \frac{2}{13} \)\( \frac{1}{13} \)\( \frac{3}{13} \)

Wzory dla szeregu przedziałowego

Wzory zostały podane zarówno dla szeregu przedziałowego ilościowego jak i szeregu przedziałowego częstości.

Szereg przedziałowy średnia:

(więcej o średniej)

\( \overline{X} = \frac{1}{n} \sum \overline{X}_{i} \cdot n_{i} \)

\( \overline{X}= \sum \overline{X}_{i} \cdot \omega_{i} \)

\( n \) – ilość obserwacji

\( n_{i} \) – liczebność i-tego przedziału

\( \omega_{i} \) – częstość i-tego przedziału

\( \overline{X}_{i} \) – wartość środkowa i-tego przedziału

Szereg przedziałowy mediana:

(więcej o medianie)

\( Me = X_{Me}+ \frac{ poz.Me – n_{Me sk – 1} }{n_{Me}} \cdot h_{Me} \)

\( Me = X_{Me}+ \frac{ poz.Me – \omega_{Me sk – 1} }{\omega_{Me}} \cdot h_{Me} \)

\( X_{Me} \) – lewy koniec przedziału z Medianą

\( poz.Me = \frac{n}{2} \) dla szeregu ilościowego albo \( \omega_{i} \) dla szeregu częstości,

\( n_{Me} \) / \( \omega_{Me} \) – liczebność / częstość przedziału z Medianą

\( n_{Me sk-1} \) / \( \omega_{Me sk-1} \) – liczebność / częstość skumulowana przedziału przed przedziałem z Medianą

\( h_{Me} \) – długość przedziału z Medianą

Szereg przedziałowy dominanta:

(więcej o dominancie)

Aby w szeregu przedziałowym istniała dominanta musi istnieć jeden najliczniejszy przedział!

\( D = x_{D} + \frac{ n_{D}-n_{D-1} }{ (n_{D}-n_{D+1})+ ( n_{D}-n_{D-1} ) } \cdot h_{D} \) \( D = x_{D} + \frac{ \omega_{D}-\omega_{D-1} }{ (\omega_{D}-\omega_{D+1})+ ( \omega_{D}-\omega_{D-1} ) } \cdot h_{D} \)

\( x_{D} \) – lewy koniec przedziału z Dominantą

\( n_{D} \) / \( \omega_{D} \)- liczebność / częstość przedziału z Dominantą

\( h_{D} \) – długość przedziału z Dominantą

\( n_{D-1} \) / \( \omega_{D-1} \) – liczebność / częstość przedziału przed przedziałem z Dominantą

\( n_{D+1} \) / \( \omega_{D+1} \) – liczebność / częstość przedziału po przedziale z Dominantą

Wzory na dominantę w szeregu przedziałowym działają gdy mamy przedziały równej długości!

Zadania dla szeregu przedziałowego

Zadanie 1

W tabeli zostały przedstawione zarobki w firmie informatycznej. Oblicz średnią, odchylenie standardowe, medianę oraz dominantę:

Przedział zarobków (w tys. zł)1-33-55-77-99-11
% pracowników\( \frac{2}{23} \)\( \frac{3}{23} \)\( \frac{10}{23} \)\( \frac{7}{23} \)\( \frac{1}{23} \)
 

Dalsza część treści jest płatna. Dokonaj zakupu lub zaloguj się

Regulamin dostępny tutaj
Zaloguj się lub Wykup
Sprawdź Wykup
Anuluj
30dniowy abonament, 69zł
Dostęp na 6 miesięcy, 79zł
30 dni, wszystkie treści + automatyczne rozwiązywanie zadań, 119zł
Dostęp na 6 miesięcy, wszystkie treści + automatyczne rozwiązywanie zadań, 129zł
Odblokuj dostęp do wszystkich treści na 30 dni.
Sprawdź
Odblokuj dostepDokonując zamówienia potwierdzasz zapoznanie się z regulaminem
Odblokuj dostęp do wszystkich treści na 6 miesięcy
Sprawdź
Odblokuj dostepDokonując zamówienia potwierdzasz zapoznanie się z regulaminem
Odblokuj dostęp do treści + automatycznego rozwiązywania zadań na 30 dni
Sprawdź
Odblokuj dostepDokonując zamówienia potwierdzasz zapoznanie się z regulaminem
Odblokuj dostęp do treści + automatycznego rozwiązywania zadań na 6 miesięcy
Sprawdź
Odblokuj dostepDokonując zamówienia potwierdzasz zapoznanie się z regulaminem
Anuluj

Zadanie 2

Liczba nieobecności w pewnej klasie kształtuje się następująco:

L. nieobecności[0, 4)[4, 8)[8, 12)[12, 16)[16, 20)
L. uczniów215364

Oblicz średnią, odchylenie standardowe, medianę, dominantę, współczynnik asymetrii oraz współczynnik zmienności.

Treść dostępna po zalogowaniu

 

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.