Hipotezą nazywamy dowolne przypuszczenie, które chcemy zweryfikować. Jeżeli przypuszczenie dotyczy rozkładu prawdopodobieństwa to mamy do czynienia z hipotezą statystyczną. \(\)
Przykładowo możemy przetestować hipotezę (nazywaną hipotezą zerową \( H_{0} \)), że:
1) średnia rozkładu wynosi 28
2) odchylenie standardowe rozkładu wynosi 4
3) czy dany rozkład jest rozkładem normalnym
Hipotezę zerową \( H_{0} \) można przyjąć (tj. nie ma podstaw do jej odrzucenia) lub odrzucić. Przy odrzuceniu przyjmujemy hipotezę alternatywną \( H_{A} \), którą sami musimy określić.
Prawdziwość przypuszczenia weryfikujemy na podstawie dostępnych obserwacji, tzn. wyciągamy wnioski o całej populacji na podstawie jej losowego wycinka (sam wybór losowej próby nie jest prosty jednak w zadaniach dot. testowania hipotez nie przejmujemy się tym).
W wielu sytuacjach przebadanie całej populacji byłoby zbyt kosztowne dlatego z pomocą przychodzi statystyka, która pozwala ocenić poprawność hipotezy bazując tylko na informacji o części populacji.
Aby przetestować hipotezę należy:
- Ustalić hipotezę zerową oraz alternatywną
hipoteza zerowa \( H_{0} \) – hipoteza, którą chcemy zweryfikować
hipoteza alternatywna \( H_{a} \) – hipoteza, którą przyjmujemy kiedy test każe nam odrzucić \( H_{0} \) - Wyliczyć statystykę testową T (opisane poniżej)
- Wyznaczyć przedział \( [t_{l}, t_{p}] \)
- Jeżeli wartość statystyki testowej T znajduje się w przedziale \( [t_{l}, t_{p}] \) to nie odrzucamy hipotezy zerowej.
Jeżeli T jest poza przedziałem to odrzucamy hipotezę zerową i przyjmujemy hipotezę alternatywną. (opisane poniżej)
W przypadku testowania hipotezy mamy do czynienia z dwoma rodzajami błędów:
- Błąd 1 rodzaju \( \alpha \) : odrzucamy hipotezę zerową, mimo że jest ona prawdziwa.
- Błąd 2 rodzaju \( \beta \): nie odrzucamy hipotezy zerowej, mimo, że jest ona fałszywa.
Błąd 1 rodzaju popełnimy wtedy gdy stwierdzimy, że lek nie jest pomocny w leczeniu choroby mimo, że w rzeczywistości jest pomocny.
Błąd 2 rodzaju popełnimy wtedy gdy stwierdzimy, że lek jest pomocny w leczeniu choroby mimo, że w rzeczywistości nie jest pomocny.
Zadanie 1
Chcemy zbadać hipotezę, że średni czas przejazdu linii tramwajowej Y wynosi 28 minut. W tym celu wykonaliśmy 100 pomiarów czasu przejazdu i otrzymaliśmy następujące wyniki: \( \overline{X} = 30 \) , \( s = 10 \)
Przetestuj hipotezę na trzech poziomach ufności:
a) 90%
b) 95%
c) 99%
Zadanie 2:
Norma techniczna przewiduje średnio 64 sekundy na ułożenie w kartonie 100 tabliczek czekolady. Czas trwania tej czynności jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z odchyleniem standardowym 10 sekund. Ponieważ robotnicy często skarżyli się, że norma jest źle ustalona, dokonano pomiaru czasu trwania tej czynności u losowo wybranych 225 robotników i otrzymano, że średni czas trwania czynności jest równy 65 s.
Czy na poziomie istotności 0.07 można stwierdzić, że średni czas czynności jest większy niż norma?
Przy jakim poziomie istotności decyzja weryfikacyjna ulegnie zmianie?
Zadanie 3:
Sprawdzano, czy poziom samooceny w badanej grupie studentów różni się od przeciętnego poziomu samooceny w ogólnej populacji studentów.
Poziom samooceny mierzony był na skali ilościowej – im wyższa wartość, tym wyższa samoocena.
Wyniki w badanej próbie: 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10
Przeciętny poziom samooceny w populacji wynosi m = 7.10
Proszę sprawdzić, czy średni poziom samooceny w badanej grupie studentów różni się od średniej w populacji na poziomie istotności 2%. Treść dostępna po zalogowaniu
Zadanie 4:
Producent kondensatorów twierdzi, że mają one przeciętną pojemność 4.5 pF. Istnieje podejrzenie, że producent nieuczciwie zawyża tę wartość. Zakładając, że pojemność jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N(m, 0.1), na poziomie istotności \( \alpha = 0.05 \), stawiając odpowiednią hipotezę sprawdzić, czy podejrzenie jest zasadne. W obliczeniach uwzględnić, że w wyniku 10 pomiarów pojemności kondensatorów otrzymano \( \overline{X} = 4.47\) pF. Treść dostępna po zalogowaniu
Wydaje mi się, że w zadaniu 3 jest błąd w obliczeniu wartości krytycznej.
Proszę o odpowiedz
Poprawione.
w zadniu 4 we wnioskach powinno być ‘zawyża’ a nie zaniża ;)
Dzięki :D