Centralne Twierdzenie Graniczne

Centralne Twierdzenie Graniczne(CTG) jest jednym z najważniejszych twierdzeń w statystyce. Uzasadnia ono powszechność występowania rozkładów zbliżonych do rozkładu normalnego.

Jeżeli ktoś Cię zapyta dlaczego rozkład normalny jest taki ważny to odpowiedzią jest Centralne Twierdzenie Graniczne.

Centralne Twierdzenie Graniczne: \(\)

Jeżeli mamy zmienne \( X_{i} \) – i.i.d. (czyli są niezależne o jednakowym rozkładzie) o takich samych wartościach oczekiwanych (średniej) \( \mu \) oraz wariancji \( \sigma^{2} \) (dodatkowo zakładamy że wariancja jest skończona \(\sigma^{2} < \infty \) ) wtedy zmienna:

\( \lim_{n\to\infty} \frac{\sum\limits_{i=1}^nX_{i} – n \cdot \mu }{\sqrt{n}\cdot \sigma} \stackrel{d}= N(0,1) \)

Dzieląc licznik i mianownik przez n otrzymamy równie popularne sformułowanie:

\( \lim_{n\to\infty} \frac{\overline{X} – \mu }{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \stackrel{d}= N(0,1) \)

d nad znakiem równości oznacza, że zbieżność jest względem rozkładu, tzn. że nie poszczególne wartości do siebie dążą a rozkłady.
Czyli im n większe tym \(\frac{\sum\limits_{i=1}^n X_{i} – n \cdot \mu }{\sqrt{n}\cdot \sigma} \) przypomina bardziej rozkład N(0,1).

Można to również zapisać, że rozkład \( \overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}) \) i w tym znaczeniu najczęściej używa się centralnego twierdzenia granicznego.

Nie oznacza to jednak, że dla dużego n X zmienia w rozkład normalny. Rozkład X jest zawsze taki jak początkowy, zmienia się jedynie rozkład \( \overline{X} \).

Słowo o skończonej wariancji \( \sigma^{2} \):

Warunek dotyczący skończoności wariancji jest bardzo ważny i formułując twierdzenie nie możemy o nim zapomnieć. Co prawda nie musimy się zbytnio martwić o to założenie wariancja powinna być podana lub łatwa do wyliczenia- dodatkowo na kursach statystyki opisowej nie spotyka się rozkładów o nieskończonej wariancji.

Zadanie 1:
Na podstawie dancyh dotyczących zarobków w pewnej firmie wyliczono, że
\( \mu = 2000 \) oraz \( \sigma = 400 \). Oblicz prawdopodobieństwo, że 30 losowo wybranych pracowników zarabia więcej niż 68 000zł.

Dalsza część treści jest płatna. Dokonaj zakupu lub zaloguj się

Regulamin dostępny tutaj

Sprawdź korepetycje online

Zaloguj się lub Wykup
Sprawdź Wykup
Anuluj
30dniowy abonament, 29zł
Abonament do końca sesji 49zł
Odblokuj dostęp do wszystkich treści na 30 dni.
Sprawdź
Odblokuj dostepDokonując zamówienia potwierdzasz zapoznanie się z regulaminem
Odblokuj dostęp do końca sesji (17-02-2019).
Sprawdź
Odblokuj dostepDokonując zamówienia potwierdzasz zapoznanie się z regulaminem
Anuluj

Zadanie 2:
Rzucamy 100 razy sześcienną kostką. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek będzie większa niż 300.

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 3:
W wyniku kradziezy majonezow w supermarkecie firma traci dziennie srednio 105 zl z przecietnym zroznicowaniem 40 zl. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze kwartalna (92 dni) strata spowodowana kradzieza majonezow wyniesie co najwyzej 10 000 zl.

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 4

Prawdopodobieństwo wygrania w pewnej grzej wynosi 0.1. Obliczyć prawdopodobieństwo, że spośród 500 grających wygra więcej niż 60 osób.

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 5

Prawdopodobieństwo urodzenia chłopca jest równe 0.515. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wśród 1000 noworodków będzie co najwyżej 480 dziewczynek?

Treść dostępna po zalogowaniu

Komentarze:

  1. X ~ N(0,1) czytamy: X jest z rozkładu normalnego o średniej 0 i wariancji 1.
    O tej falce można myśleć jako o znaku równa się.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.