Trend liniowy jest specjalnym przypadkiem regresji liniowej gdzie zmienną objaśniającą X jest zmienna czasowa t.
W takim przypadku mówimy, że mamy do czynienia z szeregiem czasowym, czyli danymi, które są uszeregowane względem czasu.

Definicja: \(\)

Liniowa funkcja trendu jest dana wzorem

\( y = a \cdot t + b \)

a – współczynnik kierunkowy trendu:   \( \large a = \frac{\sum ( t_{i}- \overline{X} ) \cdot( Y_{i}- \overline{Y} ) }{\sum ( t_{i}- \overline{t} )^{2}} \)

b – wyraz wolny trendu:   \( \large b = \overline{Y} – a \cdot \overline{t} \)

\( t_{i} \), \( Y_{i} \) wartości zmiennych t i Y

\( \overline{t} \), \( \overline{Y} \) – średnie zmiennych t i Y

Gdy a > 0 to mamy do czynienia z rosnącym trendem. Im większe a tym wartość Y szybciej rośnie w czasie.

Gdy a < 0 to mamy do czynienia z malejącym trendem. Im mniejsze a tym wartość Y szybciej maleje w czasie.

Załóżmy, że mamy dane miesięczne zawierające wielkość sprzedaży oraz wydatki na reklamę:

Wtedy

W przypadku regresji liniowej pytamy: jaka będzie sprzedaż przy określonych wydatkach na reklamę. Chcąc oszacować wielkość sprzedaży w 9-tym miesiącu potrzebujemy wiedzieć jakie będą wydatki na reklamę.

W przypadku trendu liniowego pytamy: jak sprzedaż zmienia się w czasie. W tym przypadku nie potrzebujemy wiedzieć jakie będą wydatki na reklamę. Po prostu założymy, że trend się utrzyma i w kolejnym miesiącu również zanotujemy wzrost.

Gdy mamy zmienną objaśniającą (np. wydatki na reklamę) lepiej jest użyć regresji liniowej niż analizy trendu. Niestety nie zawsze mamy zmienną objaśniającą i w niektórych przypadkach możemy bazować tylko na trendzie.

Zadanie 1

Miesięczna wielkość sprzedaży została przedstawiona w tabeli

1. Wyznacz liniową funkcje trendu i narysuj ją

2. Zinterpretuj współczynniki funkcji trendu

3. Zakładając, że trend utrzyma się oszacuj wartość sprzedaży w 10-tym miesiącu.

Zadanie 2

Liczba pasażerów lotniczych na świecie została przedstawiona w poniżej tabelce. Oszacuj liniowy trend w podanym okresie.

Treść dostępna po zalogowaniu