Rozkład Poissona, przy pewnych założeniach , może posłużyć jako aproksymacja (przybliżenie) rozkładu dwumianowego. Tzn. dla dostatecznie dużej próby ( co najmniej n = 20) oraz małym prawdopodobieństwie zajścia danego zdarzenia ( \( p \leq 0.05 \) ) zamiast rozkładu dwumianowego możemy użyć rozkład Poissona.
Definicja
Dla n> 20 i \( p \leq 0.05 \) rozkład dwumianowy możemy przybliżyć rozkładem Poissona o intensywności \( \lambda = n \cdot p \), co zapiszemy:
\( X \sim B( n,p ) \sim Poiss( n \cdot p ) \) dla n> 20 i \( p \leq 0.05 \)
Sprawdźmy na przykładzie jakie korzyści wynikają z takiego przybliżenia
Zadanie 1:
W pewnym zakładzie produkcyjnym 1 na 1000 samochodów posiada wadliwą instalację hamulcową. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 10 tyś. samochodów będzie dokładnie 10 zepsutych?
Zadanie 2:
U pewnego gatunku ryb na każde 100 samic przypada 1 samiec. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w akwarium zawierającym 250 ryb znajdą się co najmniej 2 samce?
Zadanie 3:
Kopacz złota trafia zwykle na bryłkę raz na 1000 wykopanych dołków. Obliczyć prawdopodobieństwo, że znalazł:
- 2 bryłki złota
- co najmniej 2 bryłki złota
Jeżeli odkrył 2000 dołków?
Fajna stronka!
Czy w zadaniu drugim nie powinniśmy odjąć wyliczonego P(X=2) = 1 – P(X<2) = 1 – 0.29 = 0.71. Czy też ja coś przeoczyłem.
Tak powinniśmy, już porpawiam.