Rozkład Poissona jest rozkładem dyskretnym (skokowym), który wyraża prawdopodobieństwo zdarzeń następujących po sobie z daną częstotliwością \( \alpha \) (ilość zdarzeń na jednostkę czasową) w danym czasie. Zdarzenia zachodzą niezależnie, tzn. że czas następnego zdarzenia nie zależy od tego kiedy wystąpiło poprzednie zdarzenie.

Przykład
Rozważmy taki przykład: obserwujemy pewien przystanek autobusowy i stwierdzamy, że średnio autobusy przyjeżdżają z częstotliwością \( \lambda = 4\) autobusy na godzinę. Zdarza się jednak, że autobus nie przyjedzie- ulegnie wypadkowi – lub się spóźni. Wtedy może okazać się, że w jedną godzinę przyjadą 3 autobusy, a w następną 5. Jednak średnio w każdą godzinę będziemy obserwować 4 autobusy na tym przystanku. Zmienna opisująca kiedy przyjedzie autobus jest właśnie zmienną z rozkładu Poissona o intensywności \( \lambda = 4\).

Definicja
Niech X będzie zmienną z rozkładu Poissona o intensywności \( \lambda \) co zapisujemy \( X \sim Poiss(\lambda) \). Wtedy gęstość rozkładu(prawdopodobieństwo, że zajdzie dokładnie k zdarzeń), wyraża się wzorem:

\( f(k, \lambda) = P( X = k ) = \frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!} \) dla k = 0, 1, 2, …

gdzie \( e^{x} \) to funkcja eksponencjalna. Jeżeli musisz podać dokładny wynik, a nie masz tej funkcji na kalkulatorze podstaw za e 2.718.

Warto zauważyć, że k może być dowolnie duże lecz z powodu k! w mianowniku dla dużego k prawdopodobieństwo P(X = k) będzie bardzo małe.

Podstawowe własności rozkładu Poissona:

• \( \lambda > 0\)- skoro lambda opisuje intensywność to musi być liczbą dodatnią
• \( k= 0,1,2, \dots \) – ilość zdarzeń nie może być ujemna i do tego musi być liczbą całkowitą
• Wartość oczekiwana \( EX = \lambda \)
• Wariancja \( VarX = \lambda\)
• Dominanta( Moda ) jest równa największej liczbie całkowitej mniejszej od \( \lambda \), np. dla \( \lambda = 2.7\) dominanta wynosi 2.
• Prawo zdarzeń rzadkich- wyjaśnione w tym wpisie
• Dla dużego \( \lambda \) rozkład Poissona można przybliżyć rozkładem normalnym o średniej i wariancji równych \( \lambda \), czyli dla
  \( X \sim Poiss(\lambda) \) oraz dla dużego \( \lambda \) mamy \( X \sim N(\lambda, \lambda) \)
• Mediana wynosi około \( Me \approx \lambda + \frac{1}{3} + \frac{0.02}{\lambda} \)
• Skośność wynosi \( \sqrt{\lambda} \)
• Kurtoza wynosi \( \frac{1}{\lambda} \)
• Suma zmienny z rozkładu Poissona jest rozkładem Poissona o intensywności równej sumie intensywności zmiennych, czyli\( X \sim Poiss(\lambda_{1}) \) , \( Y \sim Poiss(\lambda_{2}) \) to \( X + Y \sim Poiss( \lambda_{1} + \lambda_{2} ) \)

Zadanie 1:
Ilość wypadków w pewnej firmie w ciągu miesiąca można opisać rozkładem Poissona z intensywnością \( \lambda = 3.2 \). Oblicz:

1. Prawdopodobieństwo, że w ciągu miesiąca zajdą 2 zdarzenia
2. Prawdopodobieństwo, że w ciągu roku zajdą 24 zdarzenia
3. Prawdopodobieństwo, że ilość zdarzeń w ciągu miesiąca wyniesie mniej niż 3

Zadanie 2:
Liczba rodzynek w ciastach pieczonych przez pewną cukiernię jest zmienną losową o rozkładzie Poissona \( \lambda = 2\). Obliczyć prawdopodobieństwo, że kupując babkę trafimy na:
a) dokładnie jedną rodzynkę
b) co najmniej 5 rodzynek
c) więcej niż jedną, ale nie więcej niż 4
d) co najmniej 2, ale nie więcej niż 5 rodzynek

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 3:
Wyznacz prawdopodobieństwo pojawienia się zdarzenia rzadziej niż 2 razy wiedząc, ze wartość oczekiwana to 2.

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 4:
Zmienna losowa ma rozkład Poissona. Ile wynosi \( P(X \geq 3) \) i P(X=8) jeżeli wiadomo, że P(3) = 0,204588166 i P(5) = 0,147712656?

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 5

Oblicz wartość oczekiwaną rozkładu Poissona.

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 6

Oblicz wariancję rozkładu Poissona.

Treść dostępna po zalogowaniu