Rozkład Poissona

\(\)

Rozkład Poissona jest rozkładem dyskretnym (skokowym), który wyraża prawdopodobieństwo zdarzeń następujących po sobie z daną częstotliwością \( \alpha \) (ilość zdarzeń na jednostkę czasową) w danym czasie. Zdarzenia zachodzą niezależnie, tzn. że czas następnego zdarzenia nie zależy od tego kiedy wystąpiło poprzednie zdarzenie.

Przykład
Rozważmy taki przykład: obserwujemy pewien przystanek autobusowy i stwierdzamy, że średnio autobusy przyjeżdżają z częstotliwością \( \lambda = 4\) autobusy na godzinę. Zdarza się jednak, że autobus nie przyjedzie- ulegnie wypadkowi – lub się spóźni. Wtedy może okazać się, że w jedną godzinę przyjadą 3 autobusy, a w następną 5. Jednak średnio w każdą godzinę będziemy obserwować 4 autobusy na tym przystanku. Zmienna opisująca kiedy przyjedzie autobus jest właśnie zmienną z rozkładu Poissona o intensywności \( \lambda = 4\).

Definicja
Niech X będzie zmienną z rozkładu Poissona o intensywności \( \lambda \) co zapisujemy \( X \sim Poiss(\lambda) \). Wtedy gęstość rozkładu(prawdopodobieństwo, że zajdzie dokładnie k zdarzeń), wyraża się wzorem:

\( f(k, \lambda) = P( X = k ) = \frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!} \) dla k = 0, 1, 2, …

gdzie \( e^{x} \) to funkcja eksponencjalna. Jeżeli musisz podać dokładny wynik, a nie masz tej funkcji na kalkulatorze podstaw za e 2.718.

Warto zauważyć, że k może być dowolnie duże lecz z powodu k! w mianowniku dla dużego k prawdopodobieństwo P(X = k) będzie bardzo małe.

Podstawowe własności rozkładu Poissona:

  • \( \lambda > 0\)- skoro lambda opisuje intensywność to musi być liczbą dodatnią
  • \( k= 0,1,2, \dots \) – ilość zdarzeń nie może być ujemna i do tego musi być liczbą całkowitą
  • Wartość oczekiwana \( EX = \lambda \)
  • Wariancja \( VarX = \lambda\)
  • Dominanta( Moda ) jest równa największej liczbie całkowitej mniejszej od \( \lambda \), np. dla \( \lambda = 2.7\) dominanta wynosi 2.
  • Prawo zdarzeń rzadkich- wyjaśnione w tym wpisie
  • Dla dużego \( \lambda \) rozkład Poissona można przybliżyć rozkładem normalnym o średniej i wariancji równych \( \lambda \), czyli dla
    \( X \sim Poiss(\lambda) \) oraz dla dużego \( \lambda \) mamy \( X \sim N(\lambda, \lambda) \)
  • Mediana wynosi około \( Me \approx \lambda + \frac{1}{3} + \frac{0.02}{\lambda} \)
  • Skośność wynosi \( \sqrt{\lambda} \)
  • Kurtoza wynosi \( \frac{1}{\lambda} \)
  • Suma zmienny z rozkładu Poissona jest rozkładem Poissona o intensywności równej sumie intensywności zmiennych, czyli\( X \sim Poiss(\lambda_{1}) \) , \( Y \sim Poiss(\lambda_{2}) \) to \( X + Y \sim Poiss( \lambda_{1} + \lambda_{2} ) \)

Zadanie 1:
Ilość wypadków w pewnej firmie w ciągu miesiąca można opisać rozkładem Poissona z intensywnością \( \lambda = 3.2 \). Oblicz:

  1. Prawdopodobieństwo, że w ciągu miesiąca zajdą 2 zdarzenia
  2. Prawdopodobieństwo, że w ciągu roku zajdą 24 zdarzenia
  3. Prawdopodobieństwo, że ilość zdarzeń w ciągu miesiąca wyniesie mniej niż 3

Dalsza część treści jest płatna. Dokonaj zakupu lub zaloguj się

Regulamin dostępny tutaj

Sprawdź korepetycje online

Zaloguj się lub Wykup
Sprawdź Wykup
Anuluj
30dniowy abonament, 39zł
60dniowy abonament, 49zł
1h korepetycji 60zł
Odblokuj dostęp do wszystkich treści na 30 dni.
Sprawdź
Odblokuj dostepDokonując zamówienia potwierdzasz zapoznanie się z regulaminem
Odblokuj dostęp do wszystkich treści na 60 dni.
Sprawdź
Odblokuj dostepDokonując zamówienia potwierdzasz zapoznanie się z regulaminem
Wykup godzinne korepetycje online: 60zł
Sprawdź
WykupDokonując zamówienia potwierdzasz zapoznanie się z regulaminem
Anuluj

Zadanie 2:
Liczba rodzynek w ciastach pieczonych przez pewną cukiernię jest zmienną losową o rozkładzie Poissona \( \lambda = 2\). Obliczyć prawdopodobieństwo, że kupując babkę trafimy na:
a) dokładnie jedną rodzynkę
b) co najmniej 5 rodzynek
c) więcej niż jedną, ale nie więcej niż 4
d) co najmniej 2, ale nie więcej niż 5 rodzynek

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 3:
Wyznacz prawdopodobieństwo pojawienia się zdarzenia rzadziej niż 2 razy wiedząc, ze wartość oczekiwana to 2.

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 4:
Zmienna losowa ma rozkład Poissona. Ile wynosi \( P(X \geq 3) \) i P(X=8) jeżeli wiadomo, że P(3) = 0,204588166 i P(5) = 0,147712656?

Treść dostępna po zalogowaniu

One comment:

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.