Ad1 )

A – suma oczek nie większa niż 7

B – wynik mniejszy niż 3.

\( A \cap B \) – suma oczek nie większa niż 7, a w pierwszy rzucie mniej niż 3.

Jeżeli w rzucie B uzyskaliśmy 1 oczko to w drugim rzucie możemy uzyskać A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Prawdopodobieństwo takiego zdarzenia wynosi: \( \frac{1}{6} \cdot 1 = \frac{1}{6} \)

Jeżeli w rzucie B uzyskaliśmy 2 oczka to w drugim rzucie możemy uzyskać A = {1, 2, 3, 4, 5}. Prawdopodobieństwo takiego zdarzenia wynosi: \( \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{36} \)

Możemy to przedstawić na drzewie:

\( P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)

\( P(A \cap B) = \frac{1}{6} + \frac{5}{36} = \frac{11}{36}\)

\( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{11}{36}}{\frac{1}{3}} = \frac{11}{36} \cdot 3 = \frac{11}{12} \)

Ad 2)

A – suma oczek nie większa niż 7

B – parzysta liczba oczek (2, 4 lub 6)

\( A \cap B \) – suma oczek nie większa niż 7, a w pierwszy rzucie parzysta liczba oczek.

\( P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)

Jeżeli w rzucie B uzyskaliśmy 2 oczka to w drugim rzucie możemy uzyskać A = {1, 2, 3, 4, 5}. Prawdopodobieństwo takiego zdarzenia wynosi: \( \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{36} \)

Jeżeli w rzucie B uzyskaliśmy 4 oczka to w drugim rzucie możemy uzyskać A = {1, 2, 3}. Prawdopodobieństwo takiego zdarzenia wynosi: \( \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{6} = \frac{1}{12} \)

Jeżeli w rzucie B uzyskaliśmy 6 oczek to w drugim rzucie możemy uzyskać A = 1. Prawdopodobieństwo takiego zdarzenia wynosi: \( \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \)

Prawdopodobieństwo \( P(A \cap B) \) jest sumą powyższych prawdopodobieństw:

\( P(A \cap B) = \frac{5}{36} + \frac{1}{12} + \frac{1}{36} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4} \)

\( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \)

Opiszmy zdarzenia:

A – wylosowanie czarnej kuli

B – wylosowanie białej kuli

\( A \cap B \) – wylosowanie najpierw białej kuli, a potem czarnej.

\( P(B) = \frac{4}{7} \)

\( P(A) = \frac{3}{6} \) ponieważ zostały nam 3 czarne i 3 białe kule (bo jedną białą już wylosowaliśmy)

\( P(A \cap B) = \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{6} = \frac{2}{7}\)

\( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{2}{7}}{\frac{4}{7}} = \frac{2}{7} \cdot \frac{7}{4} = \frac{1}{2} \)

Ad 1)

A – druga wylosowana karta to As

B – pierwsza wylosowana karta to As

\( A \cap B \) – wylosowanie obu asów

\( P(B) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\)

\( P(A \cap B) = \frac{{4 \choose 2}}{{52 \choose 2}} = \frac{6}{1326} = \frac{1}{221}\)

\( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{221}}{\frac{1}{13}} = \frac{1}{221} \cdot 13 \approx 0.059\)

Ad 2)

A – druga wylosowana karta to As

B – pierwsza wylosowana to karta od 2 do 8

\( A \cap B \) – Dama, Król lub As za pierwszym losowaniem, As za drugim razem

\( P(B) = \frac{12}{52} \)

\( P(A \cap B) = \frac{8}{52} \cdot \frac{4}{51} + \frac{4}{52} \cdot \frac{3}{51} = \frac{32 + 12}{52 \cdot 51} = \frac{44}{52 \cdot 51} = \frac{11}{663} \)

\( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{11}{663}}{\frac{12}{52}} = \frac{11}{663} \cdot \frac{52}{12} \approx 0.072\)

Ad 3)

A – druga wylosowana karta to Asa

B – pierwsza wylosowana Dama lub wyżej (Dama, Król, As)

\( A \cap B \) – od 2 do 8 za pierwszym losowaniem, As za drugim razem

\( P(B) = \frac{28}{52} \)

\( P(A \cap B) = \frac{28}{52} \cdot \frac{4}{51} = \frac{28}{663}\)

\( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{28}{663}}{\frac{28}{52}} = \frac{28}{663} \cdot \frac{52}{28} \approx 0.078\)