Rozkład t-studenta – wprowadzenie

Rozkład studenta (nazywany również rozkład t albo rozkład t-studenta) to rozkład prawdopodobieństwa stosowany przy konstruowaniu przedziałów ufności, testowaniu hipotez statystycznych oraz do oceny błędów pomiaru. Do wyznaczania wartości rozkładu używa się tablicy rozkładu t-studenta .

Kiedy używamy rozkładu t studenta? \(\)

Rozkład t studenta stosujemy tylko w sytuacji gdy odchylenie standardowe populacji jest nieznane, a rozmiar próby(ilość obserwacji) jest mniejsza niż 30. W przypadku gdy rozmiar próby jest większy lub równy 30 wtedy zamiast brać rozkład t bierzemy rozkład normalny. Wynika to z faktu, że rozkład t studenta dla \( n \geq 30 \) jest bardzo podobny do rozkładu normalnego. Dla n < 30 rozkład studenta jest „szerszy”, tzn. bardziej prawdopodobne są wartości mocno odbiegające od średniej niż w przypadku rozkładu normalnego.

Przedstawienie rozkładu t studenta dla 1,5 i 30 stopni swobody
Przedstawienie rozkładu t studenta dla 1, 5 i 30 stopni swobody

 

Własności rozkładu t studenta

·         Rozkład studenta używamy gdy nieznane jest odchylenie standardowe populacji

·         Dla n – obserwacji rozkład studenta ma n-1 stopni swobody

·         Dla n>= 30 rozkład t studenta przybliżamy rozkładem normalnym N(0,1)

·         Rozkład t- studenta jest rozkładem symetrycznym

·         Rozkład studenta jest rozkładem jednomodalnym (ma jedną „górkę”)

 

O co chodzi z odchyleniem standardowym populacji?

Jest to bardzo ważne pojęcie gdyż często jest ono zawarte przy konstruowaniu przedziałów ufności oraz przy testowaniu hipotez. Często w zadaniach mamy podane odchylenie standardowe jednak nie zawsze jest to odchylenie standardowe populacji. Aby w zadaniu odchylenie standardowe dotyczyło populacji musimy znać je bez danych, tzn jeżeli jest napisane, że rozkład wagi nakrętek w pewnej fabryce jest zmienną o odchyleniu standardowym 2 to oznacza to, że odchylenie standardowe populacji wynosi 2. Jeżeli natomiast byłoby napisane: wzięto 1000 sztuk nakrętek i na podstawie ich wagi wyznaczono odchylenie standardowe równe 2.2 to dotyczy ono tylko tej grupy i nie jest to odchylenie standardowe populacji.

Zadanie 1

Zmienna losowa X ma rozkład t-Studenta o 15 stopniach swobody. Znaleźć liczbę a, dla której:

1. \( P(|X| > a) = 0.04 \)

2. \( P(X > a) = 0.02 \)

 

Ad1) \( P(|X| > a) = 0.04 \)

\( \alpha = 0.04 \), \( n-1 = 15 \)

\(a = t_{\alpha, n-1} = t_{0.04, 15} = 2.249 \)

Ad2) \( P(X > a) = 0.02 \)

Wróćmy na chwilę do przykładu 1 i rozpiszmy wartość bezwzględną:

\( |X| > a = X > a\) lub \( X < -a \)

Wykorystamy to do rozpisania prawdopodobieństwa:

\( P(|X| > a) = P(X > a) + P(X < -a) \)

Z racji tego, że rozkład t-studenta jest symetryczny mamy, że:

\( P(X > a) = P(X < -a) = \frac{1}{2} P(|X| > a) \)

Co w przypadku \( P(|X| > a) = 0.04 \) da nam:

\( P(X > a)  = \frac{1}{2} P(|X| > a) = \frac{1}{2} \cdot 0.04 = 0.02 \)

czyli tutaj a wynosi tyle samo co w przykładzie 1

\(a = t_{\alpha, n-1} = t_{0.04, 15} = 2.249 \)

 

 

 

Komentarze:

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.