Rozkład t-studenta – wprowadzenie

Rozkład t-studenta (nazywany również rozkład t albo rozkład studenta) to rozkład prawdopodobieństwa stosowany przy konstruowaniu przedziałów ufności, testowaniu hipotez statystycznych oraz do oceny błędu pomiaru.
Do wyznaczania wartości rozkładu używa się tablicy rozkładu t-studenta.

Kiedy używamy rozkładu t studenta? \(\)

Rozkład t studenta stosujemy tylko w sytuacji gdy odchylenie standardowe populacji jest nieznane, a rozmiar próby(ilość obserwacji) jest mniejsza niż 30. W przypadku gdy rozmiar próby jest większy lub równy 30 wtedy zamiast brać rozkład t bierzemy rozkład normalny. Wynika to z faktu, że rozkład t studenta dla \( n \geq 30 \) jest bardzo podobny do rozkładu normalnego. Dla n < 30 rozkład studenta jest „szerszy”, tzn. bardziej prawdopodobne są wartości mocno odbiegające od średniej niż w przypadku rozkładu normalnego.

Przedstawienie rozkładu t studenta dla 1,5 i 30 stopni swobody
Przedstawienie rozkładu t studenta dla 1, 5 i 30 stopni swobody. Czerwona linia jest dużo bardziej rozległa niż niebieska.

 

Własności rozkładu t studenta

  • Rozkład t studenta używamy gdy nieznane jest odchylenie
    standardowe populacji oraz gdy próba jest niezbyt liczna (n < 30)
  • Dla \( n \geq 30 \) rozkład t studenta przybliżamy rozkładem normalnym N(0,1)
  • Rozkład t- studenta jest rozkładem symetrycznym
  • Rozkład studenta jest rozkładem jednomodalnym (ma jedną „górkę”)
  • Im mniej obserwacji tym rozkład jest szerszy

O co chodzi z odchyleniem standardowym populacji?

Jest to bardzo ważne pojęcie gdyż często jest ono zawarte przy konstruowaniu przedziałów ufności oraz przy testowaniu hipotez. Często w zadaniach mamy podane odchylenie standardowe jednak nie zawsze jest to odchylenie standardowe populacji. Aby w zadaniu odchylenie standardowe dotyczyło populacji musimy znać je bez danych. Jeżeli jest napisane, że rozkład wagi nakrętek w pewnej fabryce jest zmienną o odchyleniu standardowym 2 to oznacza to, że odchylenie standardowe populacji wynosi 2. Jeżeli natomiast byłoby napisane: wzięto 20 sztuk nakrętek i na podstawie ich wagi wyznaczono odchylenie standardowe równe 2.2 to dotyczy ono tylko tej grupy i nie jest to odchylenie standardowe populacji.

Zadania

W zadaniach będziemy korzystali z tablicy rozkładu t-studenta dostępnej tutaj

Zadanie 1

Zmienna losowa X ma rozkład t-studenta o 5 stopniach swobody. Oblicz:

  1. \( P(X < -0.559) \)
  2. \( P(-0.559 < X <0.559) \)

Dalsza część treści jest płatna. Dokonaj zakupu lub zaloguj się

Regulamin dostępny tutaj
Zaloguj się lub Wykup
Sprawdź Wykup
Anuluj
30dniowy abonament, 39zł
Abonament do końca sesji, 59zł
Odblokuj dostęp do wszystkich treści na 30 dni.
Sprawdź
Odblokuj dostepDokonując zamówienia potwierdzasz zapoznanie się z regulaminem
Odblokuj dostęp do wszystkich treści do końca sesji (14.02.2020)
Sprawdź
Odblokuj dostepDokonując zamówienia potwierdzasz zapoznanie się z regulaminem
Anuluj

Zadanie 2

Zmienna losowa X ma rozkład t-studenta o 15 stopniach swobody. Znaleźć liczbę a, dla której:

  1. \( P(|X| > a) = 0.04 \)
  2. \( P(X > a) = 0.02 \)

Treść dostępna po zalogowaniu

Komentarze:

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.