Dystrybuanta

Czasem nie interesuje nas konkretne zdarzenie, a grupa zdarzeń, np. nie interesuje nas, jaka jest szansa, że na zakupach wydamy dokładnie 200zł, ale będzie nas interesowało jaka jest szansa, że wydamy mniej niż 200zł, inaczej byśmy weszli na debet a tego nie chcemy. Do wyliczenia takiego prawdopodobieństwa posłużmy się dystrybuantą, czyli prawdopodobieństwem, że zajdzie zdarzenie nie większe od ustalonej wartości (w powyższym przykładzie od 200zł).

Definicja \(\)
\( F_{X}(t) \) – Dystrybuanta
rozkładu X w punkcie t to prawdopodobieństwo, że zajdzie zdarzenie mniejsze bądź równe t, tzn.

\( F_{X}(t) = P( X \leq t ) \)

Graficzne przedstawienie dystrybuanty:

Dystrybuanta rozkładu normalnego
Na czerwono została zaznaczona wartość dystrybuanty w punkcie t dla rozkładu normalnego.

Poniżej zaprezentowano przykładowe wykresy dystrybuanty dla rozkładu ciągłego (po lewej) i rozkładu dyskretnego (po prawej)

Podstawowe własności dystrybuanty:

  • \( F_{X}(t) \in [0,1] \) – dystrybuanta przyjmuje wartości z przedziału [0,1]. Jest to prosty fakt, wynikający z tego, że najmniejszą szansą na zajście zdarzenia jest 0 (0% – zdarzenie w ogóle nie zajdzie), a największą 1 (100% że zdarzenie na pewno zajdzie).
  • \( F_{X}(t) \) – jest funkcją nie malejącą, czyli jeżeli weźmiemy 2 punkty \( t_{1} \) i \( t_{2} \) to jeżeli \( t_{1} < t_{2} \) to \( F_{X}(t_{1}) \leq F_{X}(t_{2}) \) – pisząc po ludzku: poruszając się w prawo wartość dystrybuanty nie będzie malała.
    Przykład: Prawdopodobieństwo, że wydamy nie więcej niż 300zł jest większe niż tego, że wydamy nie więcej niż 200zł.
  • \( F_{X}(t) \)- prawostronnie ciągła, czyli jeżeli na wykresie wystąpi nieciągłość typu skok, to otwarta kropka będzie należeć do linii po lewej stronie, a zamalowana po prawej stronie

  •  \(\lim \limits_{t \to – \infty} F_{X}(t) = 0 \)
  • \(\lim \limits_{t \to \infty} F_{X}(t) = 1 \)
  •  

    Dystrybuanta empiryczna a dystrybuanta (teoretyczna)
    Dystrybuanta empiryczna to dystrybuanta wyliczona wprost z danych. W takiej sytuacji nie znamy prawdziwego rozkładu i bazujemy tylko na dostępnych obserwacjach, np. przepytaliśmy 100 osób jaki jest ich wzrost i na tej podstawie określiliśmy empiryczny rozkład oraz wyznaczyliśmy empiryczną dystrybuantę.

    Z dystrybuantą teoretyczną mam do czynienia gdy znamy rozkład danego zjawiska, np. wiemy, że rozkład jest rozkładem normalnym N(0,1) to możemy wyznaczyć jego teoretyczną dystrybuantę.
    Tak samo możemy zrobić np. z rzutem symetryczną kostką gdzie prawdopodobieństwa są znane.

     

    Zobacz również:
    Dystrybuanta – zadania