Dystrybuanta

Czasem nie interesuje nas konkretne zdarzenie, a grupa zdarzeń, np. nie interesuje nas, jaka jest szansa, że na zakupach wydamy dokładnie 200zł, ale będzie nas interesowało jaka jest szansa, że wydamy mniej niż 200zł, inaczej byśmy weszli na debet a tego nie chcemy. Do wyliczenia takiego prawdopodobieństwa posłużmy się dystrybuantą, czyli prawdopodobieństwem, że zajdzie zdarzenie nie większe od ustalonej wartości (w powyższym przykładzie od 200zł).

Definicja \(\)
\( F_{X}(t) \) – Dystrybuanta
rozkładu X w punkcie t to prawdopodobieństwo, że zajdzie zdarzenie mniejsze bądź równe t, tzn.

\( F_{X}(t) = P( X \leq t ) \)

Graficzne przedstawienie dystrybuanty:

Dystrybuanta rozkładu normalnego
Na czerwono została zaznaczona wartość dystrybuanty w punkcie t dla rozkładu normalnego.

Poniżej zaprezentowano przykładowe wykresy dystrybuanty dla rozkładu ciągłego (po lewej) i rozkładu dyskretnego (po lewej)

Podstawowe własności dystrybuanty:

  • \( F_{X}(t) \in [0,1] \) – dystrybuanta przyjmuje wartości z przedziału [0,1]. Jest to prosty fakt, wynikający z tego, że najmniejszą szansą na zajście zdarzenia jest 0 (0% – zdarzenie w ogóle nie zajdzie), a największą 1 (100% że zdarzenie na pewno zajdzie).
  • \( F_{X}(t) \) – jest funkcją nie malejącą, czyli jeżeli weźmiemy 2 punkty \( t_{1} \) i \( t_{2} \) to jeżeli \( t_{1} < t_{2} \) to \( F_{X}(t_{1}) \leq F_{X}(t_{2}) \) – pisząc po ludzku: poruszając się w prawo wartość dystrybuanty nie będzie malała.
    Przykład: Prawdopodobieństwo, że wydamy nie więcej niż 300zł jest większe niż tego, że wydamy nie więcej niż 200zł.
  • \( F_{X}(t) \)- prawostronnie ciągła, czyli jeżeli na wykresie wystąpi nieciągłość typu skok, to otwarta kropka będzie należeć do linii po lewej stronie, a zamalowana po prawej stronie

  •  \(\lim \limits_{t \to – \infty} F_{X}(t) = 0 \)
  • \(\lim \limits_{t \to \infty} F_{X}(t) = 1 \)

 

Dystrybuanta empiryczna a dystrybuanta (teoretyczna)
Dystrybuanta empiryczna to dystrybuanta wyliczona wprost z danych. W takiej sytuacji nie znamy prawdziwego rozkładu i bazujemy tylko na dostępnych obserwacjach, np. przepytaliśmy 100 osób jaki jest ich wzrost i na tej podstawie określiliśmy empiryczny rozkład oraz wyznaczyliśmy empiryczną dystrybuantę.

Z dystrybuantą teoretyczną mam do czynienia gdy znamy rozkład danego zjawiska, np. wiemy, że rozkład jest rozkładem normalnym N(0,1) to możemy wyznaczyć jego teoretyczną dystrybuantę.
Tak samo możemy zrobić np. z rzutem symetryczną kostką gdzie prawdopodobieństwa są znane.

 

Zobacz również:
Dystrybuanta – zadania

Komentarze:

  1. Witam, Pańska strona jest przecudowna! Naprawdę wiele się z niej dowiedziałam,bo wszystko jest jasno napisane,co w przypadku matematyki rzadko się zdarza ;). Zwracam się z uprzejmą prośbą, aby pomógł mi Pan w rozwiązaniu następującego zagadnienia: określanie dystrybuanty,gdy mamy funkcję gęstości np. określ dystrybuantę dla funkcji F(x) = 2sinx dla 0<= x <= π/3 , w pozostałych przypadkach F(x) = 0. Z góry bardzo dziękuję :)

  2. Jasno i zrozumiale, dziękuję za objaśnienie , świetna robota . Czytałem opis w Wikipedii ale tam opis był tylko częsciowo zrozumiały

  3. obrazek niestety wprowadza w błąd…
    podobno dystybuanta jest funkcją nie malejącą, czyli rosnącą lub stałą, a co widzimy na obrazku? Od pewnego momentu jest malejąca.

  4. Na rysunku czarna linia oznacza rozkład prawdopodobieństwa i to może maleć. Natomiast dystrybuanta to pole pod wykresem, które zostało zaznaczone na czerwono. I wtedy wszystko się zgadza: zwiększając x, zwiększamy czerwone pole, czyli wartość dystrybuanty, czyli jest ona niemalejąca.

  5. Z ciekawości, skoro dystrybuanta jest w gruncie rzeczy polem pod wykresem, to czy można by użyć całeczki?

  6. Zgadza się. Dokładnie tak się matematycznie definiuje dystrybuantę, tj. jako całkę z prawdopodobieństwa od – nieskończoności do t.

  7. No nareszcie! Obliczyć umiałam, ale jakby ktoś mnie zapytał czym jest dystrybuanta, to (do tej pory) usłyszałby tylko “yyyyy” ;)
    Bardzo dziękuję!

  8. To mi się podoba, w jasny sporób jak krowie na rowie…dlaczego wykładowcom brakuje tej jednej klepki odpowieadającej za proste tłumaczenie (pozornie) zawiłych kwestii.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.