\(\)Wariancja jest miarą zróżnicowania, tzn. dzięki niej jesteśmy w stanie stwierdzić czy cecha jest mało zróżnicowana (wszystkie obserwacje leżą blisko średniej) czy bardzo zróżnicowana (dużo obserwacji odległych od średniej). Odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji i również opisuje zróżnicowanie cechy.

Po co nam odchylenie standardowe?

Zwróćmy uwagę we wzorach, że wszędzie liczymy \( (X_{i} – \overline{X})^{2} \) co jest związane z tym, że chcemy mieć nieujemną odległość od średniej.  Skoro raz podnieśliśmy do potęgi to dla równowagi powinniśmy spierwiastkować.

Wzory podstawowe:

Szereg szczegółowy:

\( VarX = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n (X_{i}- \overline{X})^{2} = \frac{ (X_{1}-\overline{X})^2 + \ldots + (X_{n}-\overline{X})^2}{n}\)

Szereg rozdzielczy:

\( VarX = \frac{1}{n} \sum (X_{i}- \overline{X})^{2}\cdot n_{i} \) \( VarX= \sum(X_{i}- \overline{X})^{2} \cdot \omega_{i} \)

Szereg przedziałowy:

\( VarX = \frac{1}{n} \sum (\overline{X}_{i}- \overline{X})^{2} \cdot n_{i} \) \( VarX = \sum (\overline{X}_{i}- \overline{X})^{2} \cdot \omega_{i} \)

Wzór zaawansowany (wartość oczekiwana)

\( VarX = E(X – EX)^{2} = EX^{2} – (EX)^2\)

Powyższy wzór można stosować zarówno do rozkładów ciągłych jak i dyskretnych.

W przypadku rozkładu dyskretnego: \( EX^{2} = \frac{1}{n}\sum X_{i}^{2} = \sum X_{i}^{2} p_{i} \)

Dla rozkładu ciągłego: \( EX^{2} = \int\limits_\Omega \, x^{2} \cdot f(x)dx \)

Najważniejsze własności wariancji:

1. \( VarX \geq 0 \)
2. Jeżeli \( VarX = 0 \) to \( X = EX \)
3. dla dowolnego a zachodzi równość
   \( Var(aX) = a^{2}VarX \)
4. dla dowolnego b zachodzi równość
   \( Var(X +b) = VarX \)
5. \( Var(X \pm Y) = VarX + VarY \pm 2cov(X,Y) \)

Warto również sprawdzić teorię i zadania z wartości oczekiwanej

Zadania

Zadanie 1

Oblicz wariancję i odchylenie standardowe dla szeregu: 2, 3, 4, 2, 1. 

Zadanie 2

Dane dotyczą liczby godzin postojowych w tygodniu wśród przebadanych 20 oddziałów pewnego zakładu. Oblicz wariancję na 2 sposoby:

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 3

W tabeli zostały przedstawione zarobki w firmie informatycznej. Oblicz wariancję.

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 4:

W tabeli zostały przedstawione zarobki w firmie. Oblicz medianę:

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 5:

Oblicz wartość oczekiwaną zmiennej X o rozkładzie jednostajnym na przedziale od 1 do 3.

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 6

Oblicz wariancję rozkładu:

\( f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac{1}{12}x , } & { 1 \leq x \leq 5 } \\ { 0, } & { poza }  \end{array} \right. \)

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 7

Oblicz wartość oczekiwaną rozkładu wykładniczego danego wzorem:

\( f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \lambda e^{-\lambda x}, } & { x \geq 0 } \\ { 0, } & { poza }  \\   \end{array} \right. \)

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 8

Oblicz wartość oczekiwaną jednego rzutu sześcienną kostką.

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 9

Oblicz wariancję rozkładu Poissona danego wzorem:

\( P(X=k) = \frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!} \)     dla k = 0, 1, 2, \( \ldots \)

Treść dostępna po zalogowaniu