\(\)Wariancja jest miarą zróżnicowania, tzn. dzięki niej jesteśmy w stanie stwierdzić czy cecha jest mało zróżnicowana (wszystkie obserwacje leżą blisko średniej) czy bardzo zróżnicowana (dużo obserwacji odległych od średniej). Odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji i również opisuje zróżnicowanie cechy.
Po co nam odchylenie standardowe?
Zwróćmy uwagę we wzorach, że wszędzie liczymy \( (X_{i} – \overline{X})^{2} \) co jest związane z tym, że chcemy mieć nieujemną odległość od średniej. Skoro raz podnieśliśmy do potęgi to dla równowagi powinniśmy spierwiastkować.
Wzory podstawowe:
Szereg szczegółowy:
\( VarX = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n (X_{i}- \overline{X})^{2} = \frac{ (X_{1}-\overline{X})^2 + \ldots + (X_{n}-\overline{X})^2}{n}\)
Szereg rozdzielczy:
\( VarX = \frac{1}{n} \sum (X_{i}- \overline{X})^{2}\cdot n_{i} \) \( VarX= \sum(X_{i}- \overline{X})^{2} \cdot \omega_{i} \)
Szereg przedziałowy:
\( VarX = \frac{1}{n} \sum (\overline{X}_{i}- \overline{X})^{2} \cdot n_{i} \) \( VarX = \sum (\overline{X}_{i}- \overline{X})^{2} \cdot \omega_{i} \)
Wzór zaawansowany (wartość oczekiwana)
\( VarX = E(X – EX)^{2} = EX^{2} – (EX)^2\)
Powyższy wzór można stosować zarówno do rozkładów ciągłych jak i dyskretnych.
W przypadku rozkładu dyskretnego: \( EX^{2} = \frac{1}{n}\sum X_{i}^{2} = \sum X_{i}^{2} p_{i} \)
Dla rozkładu ciągłego: \( EX^{2} = \int\limits_\Omega \, x^{2} \cdot f(x)dx \)
Najważniejsze własności wariancji:
- \( VarX \geq 0 \)
- Jeżeli \( VarX = 0 \) to \( X = EX \)
- dla dowolnego a zachodzi równość
\( Var(aX) = a^{2}VarX \) - dla dowolnego b zachodzi równość
\( Var(X +b) = VarX \) - \( Var(X \pm Y) = VarX + VarY \pm 2cov(X,Y) \)
Warto również sprawdzić teorię i zadania z wartości oczekiwanej
Zadania
Zadanie 1
Oblicz wariancję i odchylenie standardowe dla szeregu: 2, 3, 4, 2, 1.
Zadanie 2
Dane dotyczą liczby godzin postojowych w tygodniu wśród przebadanych 20 oddziałów pewnego zakładu. Oblicz wariancję na 2 sposoby:
| Liczba godzin postojowych \( X_{i} \) | Liczba oddziałów \( n_{i} \) | Częstość oddziałów \( \omega_{i} \) |
|---|---|---|
| 0 | 5 | 0.25 |
| 1 | 5 | 0.25 |
| 2 | 6 | 0.3 |
| 3 | 1 | 0.05 |
| 4 | 3 | 0.15 |
Zadanie 3
W tabeli zostały przedstawione zarobki w firmie informatycznej. Oblicz wariancję.
| Wartość \( X_{i} \) | Ilość \( n_{i} \) |
|---|---|
| 1000-3000 | 2 |
| 3000-5000 | 3 |
| 5000-7000 | 10 |
| 7000-9000 | 7 |
| 9000-11000 | 1 |
Zadanie 4:
W tabeli zostały przedstawione zarobki w firmie. Oblicz medianę:
| Przedział zarobków (w tys. zł) | 1-3 | 3-5 | 5-7 | 7-9 | 9-11 |
|---|---|---|---|---|---|
| % pracowników | \( \frac{2}{23} \) | \( \frac{3}{23} \) | \( \frac{10}{23} \) | \( \frac{7}{23} \) | \( \frac{1}{23} \) |
Zadanie 5:
Oblicz wartość oczekiwaną zmiennej X o rozkładzie jednostajnym na przedziale od 1 do 3.
Zadanie 6
Oblicz wariancję rozkładu:
\( f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac{1}{12}x , } & { 1 \leq x \leq 5 } \\ { 0, } & { poza } \end{array} \right. \)
Zadanie 7
Oblicz wartość oczekiwaną rozkładu wykładniczego danego wzorem:
\( f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \lambda e^{-\lambda x}, } & { x \geq 0 } \\ { 0, } & { poza } \\ \end{array} \right. \)
Zadanie 8
Oblicz wartość oczekiwaną jednego rzutu sześcienną kostką.
Zadanie 9
Oblicz wariancję rozkładu Poissona danego wzorem:
\( P(X=k) = \frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!} \) dla k = 0, 1, 2, \( \ldots \)
Zadanie.
Oczekiwana stopa zwrotu z akcji XYZ wynosi 10% w skali roku przy odchyleniu standardowym równym 20%. Jeżeli stopy zwrotu z tej akcji mają rozkład normalny to prawdopodobieństwo poniesienia straty większej niż 10% z inwestycji w tę akcję w ciągu roku wynosi około:
To zadanie raczej to działu z rozkładem normalnym :)
Średnia = 0.1, a odchylenie standardowe równa się 0.2.
Wystarczy obliczyć P(X > 0.1)