Wariancja/odchylenie standardowe

\(\)Wariancja jest miarą zróżnicowania, tzn. dzięki niej jesteśmy w stanie stwierdzić czy cecha jest mało zróżnicowana (wszystkie obserwacje leżą blisko średniej) czy bardzo zróżnicowana (dużo obserwacji odległych od średniej). Odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji i również opisuje zróżnicowanie cechy.

Po co nam odchylenie standardowe?

Zwróćmy uwagę we wzorach, że wszędzie liczymy \( (X_{i} – \overline{X})^{2} \) co jest związane z tym, że chcemy mieć nieujemną odległość od średniej.  Skoro raz podnieśliśmy do potęgi to dla równowagi powinniśmy spierwiastkować.

Wzory podstawowe:

Szereg szczegółowy:

\( VarX = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n (X_{i}- \overline{X})^{2} = \frac{ (X_{1}-\overline{X})^2 + \ldots + (X_{n}-\overline{X})^2}{n}\)

Szereg rozdzielczy:

\( VarX = \frac{1}{n} \sum (X_{i}- \overline{X})^{2}\cdot n_{i} \) \( VarX= \sum(X_{i}- \overline{X})^{2} \cdot \omega_{i} \)

Szereg przedziałowy:

\( VarX = \frac{1}{n} \sum (\overline{X}_{i}- \overline{X})^{2} \cdot n_{i} \) \( VarX = \sum (\overline{X}_{i}- \overline{X})^{2} \cdot \omega_{i} \)

Wzór zaawansowany (wartość oczekiwana)

\( VarX = E(X – EX)^{2} = EX^{2} – (EX)^2\)

Powyższy wzór można stosować zarówno do rozkładów ciągłych jak i dyskretnych.

W przypadku rozkładu dyskretnego: \( EX^{2} = \frac{1}{n}\sum X_{i}^{2} = \sum X_{i}^{2} p_{i} \)

Dla rozkładu ciągłego: \( EX^{2} = \int\limits_\Omega \, x^{2} \cdot f(x)dx \)

Najważniejsze własności wariancji:

  1. \( VarX \geq 0 \)
  2. Jeżeli \( VarX = 0 \) to \( X = EX \)
  3. dla dowolnego a zachodzi równość
    \( Var(aX) = a^{2}VarX \)
  4. dla dowolnego b zachodzi równość
    \( Var(X +b) = VarX \)
  5. \( Var(X \pm Y) = VarX + VarY \pm 2cov(X,Y) \)

Warto również sprawdzić teorię i zadania z wartości oczekiwanej

Zadania

Zadanie 1

Oblicz wariancję i odchylenie standardowe dla szeregu: 2, 3, 4, 2, 1. 

Dalsza część treści jest płatna. Dokonaj zakupu lub zaloguj się

Regulamin dostępny tutaj
Zaloguj się lub Wykup
Sprawdź Wykup
Anuluj
30dniowy abonament, 49zł
Dostęp do końca sesji (28.02), 59zł
30 dni, wszystkie treści + automatyczne rozwiązywanie zadań, 99zł
Dostęp do końca sesji (17.07), wszystkie treści + automatyczne rozwiązywanie zadań, 109zł
Odblokuj dostęp do wszystkich treści na 30 dni.
Sprawdź
Odblokuj dostepDokonując zamówienia potwierdzasz zapoznanie się z regulaminem
Odblokuj dostęp do wszystkich treści do końca sesji (28.02)
Sprawdź
Odblokuj dostepDokonując zamówienia potwierdzasz zapoznanie się z regulaminem
Odblokuj dostęp do treści + automatycznego rozwiązywania zadań na 30 dni
Sprawdź
Odblokuj dostepDokonując zamówienia potwierdzasz zapoznanie się z regulaminem
Odblokuj dostęp do treści + automatycznego rozwiązywania zadań do końca sesji (17.07)
Sprawdź
Odblokuj dostepDokonując zamówienia potwierdzasz zapoznanie się z regulaminem
Anuluj

Zadanie 2

Dane dotyczą liczby godzin postojowych w tygodniu wśród przebadanych 20 oddziałów pewnego zakładu. Oblicz wariancję na 2 sposoby:

Liczba godzin postojowych \( X_{i} \)Liczba oddziałów \( n_{i} \)Częstość oddziałów \( \omega_{i} \)
050.25
150.25
260.3
310.05
430.15

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 3

W tabeli zostały przedstawione zarobki w firmie informatycznej. Oblicz wariancję.

Wartość \( X_{i} \)Ilość \( n_{i} \)
1000-30002
3000-50003
5000-700010
7000-90007
9000-110001

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 4:

W tabeli zostały przedstawione zarobki w firmie. Oblicz medianę:

Przedział zarobków (w tys. zł)1-33-55-77-99-11
% pracowników\( \frac{2}{23} \)\( \frac{3}{23} \)\( \frac{10}{23} \)\( \frac{7}{23} \)\( \frac{1}{23} \)

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 5:

Oblicz wartość oczekiwaną zmiennej X o rozkładzie jednostajnym na przedziale od 1 do 3.

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 6

Oblicz wariancję rozkładu:

\( f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac{1}{12}x , } & { 1 \leq x \leq 5 } \\ { 0, } & { poza }  \end{array} \right. \)

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 7

Oblicz wartość oczekiwaną rozkładu wykładniczego danego wzorem:

\( f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \lambda e^{-\lambda x}, } & { x \geq 0 } \\ { 0, } & { poza }  \\   \end{array} \right. \)

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 8

Oblicz wartość oczekiwaną jednego rzutu sześcienną kostką.

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 9

Oblicz wariancję rozkładu Poissona danego wzorem:

\( P(X=k) = \frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!} \)     dla k = 0, 1, 2, \( \ldots \)

Treść dostępna po zalogowaniu

Komentarze:

  1. Zadanie.

    Oczekiwana stopa zwrotu z akcji XYZ wynosi 10% w skali roku przy odchyleniu standardowym równym 20%. Jeżeli stopy zwrotu z tej akcji mają rozkład normalny to prawdopodobieństwo poniesienia straty większej niż 10% z inwestycji w tę akcję w ciągu roku wynosi około:

  2. To zadanie raczej to działu z rozkładem normalnym :)
    Średnia = 0.1, a odchylenie standardowe równa się 0.2.
    Wystarczy obliczyć P(X > 0.1)

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.