Przedział ufności dla średniej pozwala nam oszacować prawdopodobny przedział, w którym znajduje się średnia danego rozkładu normalnego, przy czym wariancja rozkładu może być znana lub nieznana.

W większości przypadków wyliczając wartość dystrybuanty korzystamy z rozkładu normalnego. Jedynym wyjątkiem jest sytuacja gdy ilość obserwacji n < 30 oraz wariancja populacji \( \sigma^{2} \) jest nieznana.

Kiedy wariancja populacji jest nieznana?
Kiedy musimy ją wyliczyć sami lub została ona wyliczona na podstawie danych. Jeżeli w zadaniu jest napisane, że wariancja została oszacowana/wyestymowana na podstawie danych to wariancja dotyczy konkretnej próbki danych, a nie całej populacji. Jeżeli w zadaniu jest mowa o wariancji populacji to najczęściej jest to napisane, że dane pochodzą z rozkładu normalnego o wariancji \( \sigma^{2} \). Gdy wariancja jest wyliczona na podstawie danych zamiast pisać \( \sigma^{2} \) używa się \( s^{2} \).

Definicja:

\( \overline{X} \) – średnia
\( \sigma^{2} \) – wariancja populacji
\( s^{2} =  \frac{1}{n-1} \sum\limits_{i=1}^n (X_{i}- \overline{X})^{2} \) – wariancja wyliczona z próbki

n – liczebność próby
\( 1-\alpha \) – poziom ufności
\( \alpha \) – poziom istotności
\( u_{1- \frac{\alpha}{2}} \) – dystrybuanta rozkładu normalnego dla \( 1-\frac{\alpha}{2} \)
\( t_{\alpha,n-1} \) – dystrybuanta rozkładu t-studenta dla \( 1-\alpha \) i n-1 stopni swobody

Zadanie 1:
W 25- elementowej próbie prostej, złożonej z drzew losowo wybranych z lasu, otrzymano: \( \overline{X} = 37.3\) cm oraz \( s^{2} =13.5 cm^{2}\). Zakładamy, że rozkład średnicy drzew w tym lesie jest w przybliżeniu normalny. Wyznaczyć 96%-ową realizację przedziału ufności dla przeciętnej liczby drzew w tym lesie.

Zadanie 2:
Ankieter zapytał szesnastu studentów ile litrów kawy każdy z nich wypił w tygodniu poprzedzającym kolokwium z statystyki. Przedział ufności dla wartości oczekiwanej na poziomie istotności 0.1 z pobranej próby wyniósł (2,8).
Oblicz średnią i wariancję ilości litrów wypitej kawy w tej próbie, zakładając że pochodzi z rozkładu normalnego. Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 3:
Średnia cena 50 losowo wybranych podręczników akademickich wyniosła 28.40 PLN. Wiadomo, ze odchylenie standardowe cen podręczników wynosi 4.75 PLN. Wyznaczyć 95% przedział ufności dla średniej ceny podręcznika akademickiego zakładając, ze rozkład cen jest rozkładem normalnym. Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 4:

Miesięczne wydatki na kulturę i sport wrocławskich studentów można uznać za cechę o rozkładzie normalnym z odchyleniem standardowym wynoszących 15zł. Na podstawie 16-elementowej próby prostej pobranej spośród wrocławskich studentów otrzymano średnią kwotę tych wydatków wynoszącą 55zł. Na poziomie ufności 0.95 oszacować przedziałowo przeciętne wydatki na kulturę i sport wśród wrocławskich studentów. Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 5

W celu oszacowania średniego poziomu wody w Warcie przy ujściu do Odry, dokonano obserwacji w ciągu n = 80 lat i otrzymano następujące wyniki \( X_{i} \) (w cm), które pogrupowano w szereg rozdzielczy:

Wiedząc, że dla populacji odchylenie standardowe wynosi 27, oszacuj przeciętny poziom wody w Warcie przy ujściu Odry. Przyjmij współczynnik ufności \( 1 – \alpha = 0.99 \) Treść dostępna po zalogowaniu