Przedział ufności dla średniej

\(\)

Przedział ufności dla średniej pozwala nam oszacować prawdopodobny przedział, w którym znajduje się średnia danego rozkładu normalnego, przy czym wariancja rozkładu może być znana lub nieznana.

W większości przypadków wyliczając wartość dystrybuanty korzystamy z rozkładu normalnego. Jedynym wyjątkiem jest sytuacja gdy ilość obserwacji n < 30 oraz wariancja populacji \( \sigma^{2} \) jest nieznana.

Kiedy wariancja populacji jest nieznana?
Kiedy musimy ją wyliczyć sami lub została ona wyliczona na podstawie danych. Jeżeli w zadaniu jest napisane, że wariancja została oszacowana/wyestymowana na podstawie danych to wariancja dotyczy konkretnej próbki danych, a nie całej populacji. Jeżeli w zadaniu jest mowa o wariancji populacji to najczęściej jest to napisane, że dane pochodzą z rozkładu normalnego o wariancji \( \sigma^{2} \). Gdy wariancja jest wyliczona na podstawie danych zamiast pisać \( \sigma^{2} \) używa się \( s^{2} \).

Definicja:

Warunki:Przedział ufności
Znane \( \sigma\), n-dowolne\( ( \overline{X} - u_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} , \overline{X} + u_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} ) \)
Nieznane \( \sigma\), \(n \geq 30 \)\( ( \overline{X} - u_{1- \frac{\alpha}{2}} \frac{s}{\sqrt{n}} , \overline{X} + u_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{s}{\sqrt{n}} ) \)
Nieznane \( \sigma\), n < 30\( ( \overline{X} - t_{\alpha,n-1} \frac{s}{\sqrt{n}} , \overline{X} + t_{\alpha,n-1} \frac{s}{\sqrt{n}} ) \)

\( \overline{X} \) – średnia
\( \sigma^{2} \) – wariancja populacji
\( s^{2} =  \frac{1}{n-1} \sum\limits_{i=1}^n (X_{i}- \overline{X})^{2} \) – wariancja wyliczona z próbki

n – liczebność próby
\( 1-\alpha \) – poziom ufności
\( \alpha \) – poziom istotności
\( u_{1- \frac{\alpha}{2}} \) – dystrybuanta rozkładu normalnego dla \( 1-\frac{\alpha}{2} \)
\( t_{\alpha,n-1} \) – dystrybuanta rozkładu t-studenta dla \( 1-\alpha \) i n-1 stopni swobody

Zadanie 1:
W 25- elementowej próbie prostej, złożonej z drzew losowo wybranych z lasu, otrzymano: \( \overline{X} = 37.3\) cm oraz \( s^{2} =13.5 cm^{2}\). Zakładamy, że rozkład średnicy drzew w tym lesie jest w przybliżeniu normalny. Wyznaczyć 96%-ową realizację przedziału ufności dla przeciętnej liczby drzew w tym lesie.

Dalsza część treści jest płatna. Dokonaj zakupu lub zaloguj się

Regulamin dostępny tutaj

Sprawdź korepetycje online

Zaloguj się lub Wykup
Sprawdź Wykup
Anuluj
30dniowy abonament, 39zł
Abonament do końca sesji, 49zł
1h korepetycji 60zł
Odblokuj dostęp do wszystkich treści na 30 dni.
Sprawdź
Odblokuj dostepDokonując zamówienia potwierdzasz zapoznanie się z regulaminem
Odblokuj dostęp do wszystkich treści do końca sesji (14.07)
Sprawdź
Odblokuj dostepDokonując zamówienia potwierdzasz zapoznanie się z regulaminem
Wykup godzinne korepetycje online: 60zł
Sprawdź
WykupDokonując zamówienia potwierdzasz zapoznanie się z regulaminem
Anuluj

Zadanie 2:
Ankieter zapytał szesnastu studentów ile litrów kawy każdy z nich wypił w tygodniu poprzedzającym kolokwium z statystyki. Przedział ufności dla wartości oczekiwanej na poziomie istotności 0.1 z pobranej próby wyniósł (2,8).
Oblicz średnią i wariancję ilości litrów wypitej kawy w tej próbie, zakładając że pochodzi z rozkładu normalnego. Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 3:
Średnia cena 50 losowo wybranych podręczników akademickich wyniosła 28.40 PLN. Wiadomo, ze odchylenie standardowe cen podręczników wynosi 4.75 PLN. Wyznaczyć 95% przedział ufności dla średniej ceny podręcznika akademickiego zakładając, ze rozkład cen jest rozkładem normalnym. Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 4:

Miesięczne wydatki na kulturę i sport wrocławskich studentów można uznać za cechę o rozkładzie normalnym z odchyleniem standardowym wynoszących 15zł. Na podstawie 16-elementowej próby prostej pobranej spośród wrocławskich studentów otrzymano średnią kwotę tych wydatków wynoszącą 55zł. Na poziomie ufności 0.95 oszacować przedziałowo przeciętne wydatki na kulturę i sport wśród wrocławskich studentów. Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 5

W celu oszacowania średniego poziomu wody w Warcie przy ujściu do Odry, dokonano obserwacji w ciągu n = 80 lat i otrzymano następujące wyniki \( X_{i} \) (w cm), które pogrupowano w szereg rozdzielczy:

Poziom \( X_{i} \)190-194194-198198-202202-206206-210210-214
Liczebność \( n_{i} \)6122620115

Wiedząc, że dla populacji odchylenie standardowe wynosi 27, oszacuj przeciętny poziom wody w Warcie przy ujściu Odry. Przyjmij współczynnik ufności \( 1 – \alpha = 0.99 \) Treść dostępna po zalogowaniu

 

Komentarze:

  1. Dlaczego z tablicy rozkładu t-studenta należy odczytac wartosc t 0,02, a nie t 0,01? Przecież we wzorze mamy t alfa/2, więc skoro alfa=0,02, to na tablicy nie powinnismy szukac wartosci t 0,01;24?

  2. Dokładnie tak, zamiast 98% przedział ufności chodziło mi o 96%. Dziękuję, już poprawiłem.

  3. Witam,

    skąd w zadaniu 3 wzięło się u0,975=1.96? Nie da się tego odczytać z rozkładu t studenta… Nie rozumiem jakie jest źródło tej wartości.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.