Triki- tablica N(0,1)

\(\)

Wszystkie zadania dot. rozkładu normalnego w których należy policzyć prawdopodobieństwo sprowadzają się tak naprawdę do kilku przypadków, które tutaj omówimy. Do każdego przypadku będzie dołączony rysunek ilustrujący podane prawdopodobieństwo oraz wzór. Na kolokwium wystarczy pamiętać wzór jednak w stresie można zapomnieć wzoru więc warto przeanalizować obrazki i wyrobić sobie intuicję dotyczącą rozkładu normalnego.

Wzory:
\( P(X \leq t) = \begin{cases} \Phi(t) & t \geq 0 \\ 1- \Phi(-t) & t < 0 \end{cases} \)

\( P(X \geq t) = \begin{cases} 1 – \Phi(t) & t \geq 0 \\ \Phi(-t) & t < 0 \end{cases} \)

\( P( t \leq X \leq s) = \Phi(s) – \Phi(t) \)

Omówienie wzorów wraz z przykładami:

Wiadomości wstępne:

  1. \( \Phi(t) = P(X \leq t) \) – dystrybuanta rozkładu normalnego \( X \sim N(0,1) \)
  2. Rozkład normalny jest symetryczny, czyli wygląda tak samo względem średniej – w przypadku rozkładu N(0,1) względem x = 0;
  3. Prawdopodobieństwo sumuje się do jedynki, tzn. \( P(X \geq a) + P(X < a ) = 1 \)

Przypadki:

1) \( P(X \leq t ) \) gdy \( t \geq 0 \)
norm przyp1Jest to najprostszy przypadek, który możemy od razu odczytać z tablicy:
\( P(X \leq t) =\Phi(t) \)

np. \( P( \leq 2.03 )= \Phi(2.03) \approx 0.979 \)

2) \( P( X \leq t ) \) gdy gdy \( t < 0 \)norm przyp3Sytuacja podobna do 1. tyle że dla t < 0.
Z symetryczności mamy : \( P(X \leq t) = P(X \geq -t) \) (oba prawdopodobieństwa zaznaczone na rysunku)
Korzystając z faktu, że prawdopodobieństwo sumuje się do jedynki mamy, że:
\( P(X \geq -t) = 1 – P(X < -t ) \approx 1 – P(X \leq -t) =  1 – \Phi(-t) \)

np. \( P(X \leq -2) = 1 – \Phi(2) \approx 1 – 0.997 = 0.003 \)

3) \( P(X \geq t ) \) gdy \( t > 0 \)
norm przyp4Korzystając z faktu, że prawdopodobieństwo sumuje się do jedynki mamy, że:
\( P(X \geq t) = 1 – P(X < t ) \approx 1 – P(X \leq t) = 1 – \Phi(t) \)

np. \( P(X \geq 2.92) = 1 – \Phi(2.92) \approx 1 – 0.998 = 0.02 \)

4) \( P(X \geq t ) \) gdy \( t < 0 \)
norm przyp2Z symetryczności rozkładu normalnego mamy, że:
\( P(X \geq t) = P( X \leq -t) = \Phi(-t) \) dla t < 0

np. \( P(X \geq -2.03) = P(X \leq 2.03) \approx 0.979 \)

5) \( P( t \leq X \leq s) \)norm przyp6\( P( t \leq X \leq s) = P(X \leq s) – P(X < t) \approx P(X \leq s) – P(X \leq t) =\Phi(s) – \Phi(t) \)

np. \( P(1.5 \leq X \leq 2.5) = \Phi(2.5) – \Phi(1.5) \approx 0.994- 0.933 = 0.061 \)
W przypadku 5. użyłem s i t > 0. Możemy wstawić dowolne s i t. Jeżeli któreś z nich będzie ujemne to będziemy musieli wykorzystać jeszcze inny przypadek.

Adnotacja do przypadku 5: sytuacja w tym przypadku jest bardziej subtelna. Załóżmy taką sytuację: Wychodzimy z domu i idziemy do parku(punkt s). Po drodze wstępujemy jeszcze do sklepu(punkt t). Wiem, że cała droga wynosi 300m . Natomiast z domu do sklepu mamy 200m. Wynika z tego, że ze sklepu do parku jest 100m, a obliczyliśmy to odejmując 300(droga do s) do 200(droga do t).

 

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.