Co to jest mediana?
Mediana (wartość przeciętna lub 2 kwartyl) – miara centralna leżąca dokładnie w środku uszeregowanych obserwacji, tzn. 50% obserwacji leży na lewo od niej i 50% leży na prawo od niej. \(\)
Co możemy zapisać następująco:
\( P(X \leq Me) \geq 0.5 \) oraz \( P(X \geq Me) \geq 0.5 \)
gdzie Me to wartość mediany
Wzory na medianę:
Najczęściej wykorzystywany wzór na medianę to:
\( Me = \begin{cases} \frac{1}{2}(X_{\frac{n}{2}} + X_{\frac{n}{2}+1}) , & n\mbox{ – parzyste} \\ X_{\frac{n+1}{2}}, & n\mbox{ – nieparzyste} \end{cases} \)
Mediana w szeregu przedziałowym
\( \large Me = X_{Me}+ \frac{ \frac{n}{2} – n_{Me sk – 1} }{n_{Me}} \cdot h_{Me} \)
\( \large Me = X_{Me}+ \frac{ 0.5 – \omega_{Me sk – 1} }{\omega_{Me}} \cdot h_{Me} \)
\( X_{Me} \) – lewy koniec przedziału z Medianą
\( n_{Me} \) – liczebność przedziału z Medianą
\( \omega_{Me} \) – częstość przedziału z Medianą
\( n_{Me sk-1} \) – liczebność skumulowana przedziału przed przedziałem z Medianą (suma obserwacji we wszystkich przedziałów przed przedziałem z medianą)
\( \omega_{Me sk-1} \) – częstość skumulowana przedziału przed przedziałem z Medianą (suma częstości we wszystkich przedziałów przed przedziałem z medianą)
\( h_{Me} \) – długość przedziału z Medianą
Jak wyznaczyć przedział z medianą?
Dla szeregu ilościowego:
Liczymy liczebność skumulowaną \( n_{isk} \) dla każdego przedziału. Mediana znajduje się w pierwszym przedziale, dla którego \( \frac{n}{2} \leq n_{isk} \)
Dla szeregu częstości:
Liczymy częstość skumulowaną \( \omega_{isk} \) dla każdego przedziału. Mediana znajduje się w pierwszym przedziale, dla którego \( 0.5 \leq \omega_{isk} \)
Przykład:
| \( X_{i} \) | 1-4 | 4-7 | 7-10 | 10-13 |
|---|---|---|---|---|
| \( n_{i} \) | 10 | 20 | 5 | 8 |
\( n = 10 + 20 + 5 + 8 = 43 \)
\( \frac{43}{2} = 21.5 \)
Policzmy liczebność skumulowaną \( n_{isk} \)
| \( X_{i} \) | 1-4 | 4-7 | 7-10 | 10-13 |
|---|---|---|---|---|
| \( n_{i} \) | 10 | 20 | 5 | 8 |
| \( n_{isk} \) | 10 | 10 + 20 = 30 | 10 + 20 + 5 = 35 | 10 + 20 + 5 + 8= 43 |
30 jest pierwszym \( n_{isk} \) dla którego \( 21.5 \leq n_{isk}\)
Mediana znajduje się w przedziale 4-7.
Ważna uwaga dotycząca mediany:
Przed znalezieniem mediany należy uszeregować rosnąco obserwacje bo tylko wtedy będziemy mogli poprawnie wyznaczyć medianę.
Zobacz również:
Graficzne przedstawienie mediany Porównanie mediany, średniej i dominanty
Jak obliczyć medianę przykład
Oblicz medianę dla obserwacji: 1, 2, 3, 2, 3, 6
Najpierw uporządkujemy obserwacje: 1, 2, 2, 3, 3, 6.
Mamy n=6 obserwacji. n jest parzyste więc skorzystamy ze wzoru:
\( Me = \frac{1}{2}(X_{\frac{n}{2}} + X_{\frac{n}{2}+1}) \)
\( X_{\frac{n}{2}} = X_{3} = 2\)
\( X_{\frac{n}{2} +1} = X_{4} = 3 \)
\( Me = \frac{1}{2}(X_{\frac{n}{2}} + X_{\frac{n}{2}+1}) = \frac{1}{2}(2+3) = 2.5\)
Odp: Mediana z obserwacji wynosi 2.5.
Gdzie wykorzystywana jest mediana?
Mediana jest często wykorzystywana przy analizie rozkładów. Zaletą jest większa odporność na obserwacje odstające niż w przypadku średniej. Więcej można poczytać tutaj.
Mediana zarobków
Powyższą różnicę można zaobserwować licząc medianę i średnią miesięcznych zarobków w Polsce, tj. średnia wynosi około 4800 brutto natomiast mediana wynosi około 2800 brutto. Co oznacza, że w rozkładzie zarobków Polaków są Polacy, którzy zarabiają bardzo dużo przez co średnia jest zawyżona względem mediany.
Wartość mediany oznacza również, że 50% Polaków zarabia co najwyżej 2800zł brutto oraz 50% Polaków zarabia co najmniej 2800zł brutto.
Zadania na medianę
Zadanie 1
Oblicz medianę dla podanych danych: 1, 4, 6, 7, 5, 9, 7, 7, 8
Zadanie 2
Określ medianę wśród ocen uczniów ze sprawdzianu z fizyki: 3, 4, 2, 3, 2, 3, 5, 3, 6, 2, 1, 2.
Zadanie 3
Określ medianę wśród danych: 1.5 , 2.5, 6 , 3 , 4
Zadanie 4
Oceny z klasówki zostały przedstawione w poniższej tabeli:
| Ocena | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Liczba uczniów | 2 | 5 | 10 | 8 | 7 |
Oblicz medianę. Treść dostępna po zalogowaniu
Zadanie 5:
Rozkład pewnej cechy jest dany w poniższej tabeli. Oblicz medianę.
| Wartość \( X_{i} \) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Ilość \( n_{i} \) | 1 | 4 | 4 | 1 | 1 | 1 |
Zadanie 6:
W tabeli zostały przedstawione zarobki w firmie informatycznej. Oblicz medianę:
| Wartość \( X_{i} \) (w tys. zł) | 1-3 | 3-5 | 5-7 | 7-9 | 9-11 |
|---|---|---|---|---|---|
| Ilość \( n_{i} \) | 2 | 3 | 10 | 7 | 1 |
Zadanie 7:
W tabeli zostały przedstawione zarobki w firmie. Oblicz medianę:
| Przedział zarobków (w tys. zł) | 1-3 | 3-5 | 5-7 | 7-9 | 9-11 |
|---|---|---|---|---|---|
| % pracowników | \( \frac{2}{23} \) | \( \frac{3}{23} \) | \( \frac{10}{23} \) | \( \frac{7}{23} \) | \( \frac{1}{23} \) |
ani wzory na mediany ani na dominanty sie nie laduja
Dzięki za informację, poprawione.
Nie rozumiem skąd w zadaniu nr 7 poz.Me jest równa 0.5?
Mediana leży zawsze w środku, czyli jej pozycja wynosi albo n/2 dla szeregu ilościowego, albo 0.5 dla szeregu częstościowego. 0.5 oznacza dokładnie połowę przedziału, czyli ma taką samą interpretację jak n/2.