Mediana

Co to jest mediana?

Mediana (wartość przeciętna lub 2 kwartyl) – miara centralna leżąca dokładnie w środku uszeregowanych obserwacji, tzn.  50% obserwacji leży na lewo od niej i 50% leży na prawo od niej. \(\)

Co możemy zapisać następująco:

\( P(X \leq Me) \geq 0.5 \) oraz \( P(X \geq Me) \geq 0.5 \)

gdzie Me to wartość mediany

Wzory na medianę:

Najczęściej wykorzystywany wzór na medianę to:

\( Me = \begin{cases} \frac{1}{2}(X_{\frac{n}{2}} + X_{\frac{n}{2}+1}) , & n\mbox{ – parzyste} \\ X_{\frac{n+1}{2}}, & n\mbox{ – nieparzyste} \end{cases} \)

Mediana w szeregu przedziałowym

\( \large Me = X_{Me}+ \frac{ \frac{n}{2} – n_{Me sk – 1} }{n_{Me}} \cdot h_{Me} \)

\( \large Me = X_{Me}+ \frac{ 0.5 – \omega_{Me sk – 1} }{\omega_{Me}} \cdot h_{Me} \)

\( X_{Me} \) – lewy koniec przedziału z Medianą

\( n_{Me} \) – liczebność przedziału z Medianą

\( \omega_{Me} \) – częstość przedziału z Medianą

\( n_{Me sk-1} \) – liczebność skumulowana przedziału przed przedziałem z Medianą (suma obserwacji we wszystkich przedziałów przed przedziałem z medianą)

\( \omega_{Me sk-1} \) – częstość skumulowana przedziału przed przedziałem z Medianą (suma częstości we wszystkich przedziałów przed przedziałem z medianą)

\( h_{Me} \) – długość przedziału z Medianą

Jak wyznaczyć przedział z medianą?

Dla szeregu ilościowego:

Liczymy liczebność skumulowaną \( n_{isk} \) dla każdego przedziału. Mediana znajduje się w pierwszym przedziale, dla którego \( \frac{n}{2} \leq n_{isk} \)

Dla szeregu częstości:

Liczymy częstość skumulowaną \( \omega_{isk} \) dla każdego przedziału. Mediana znajduje się w pierwszym przedziale, dla którego \( 0.5 \leq \omega_{isk} \)

Przykład:

\( X_{i} \) 1-44-77-1010-13
\( n_{i} \)102058

\( n = 10 + 20 + 5 + 8 = 43 \)

\( \frac{43}{2} = 21.5 \)

Policzmy liczebność skumulowaną \( n_{isk} \)

\( X_{i} \) 1-44-77-1010-13
\( n_{i} \)102058
\( n_{isk} \)1010 + 20 = 3010 + 20 + 5 = 3510 + 20 + 5 + 8= 43

30 jest pierwszym \( n_{isk} \) dla którego \( 21.5 \leq n_{isk}\)

Mediana znajduje się w przedziale 4-7.

Ważna uwaga dotycząca mediany:

Przed znalezieniem mediany należy uszeregować rosnąco obserwacje bo tylko wtedy będziemy mogli poprawnie wyznaczyć medianę.

Zobacz również:

Graficzne przedstawienie mediany Porównanie mediany, średniej i dominanty

Jak obliczyć medianę przykład

Oblicz medianę dla obserwacji: 1, 2, 3, 2, 3, 6

Najpierw uporządkujemy obserwacje: 1, 2, 2, 3, 3, 6.

Mamy n=6 obserwacji. n jest parzyste więc skorzystamy ze wzoru:

\( Me = \frac{1}{2}(X_{\frac{n}{2}} + X_{\frac{n}{2}+1}) \)

\( X_{\frac{n}{2}} = X_{3} = 2\)

\( X_{\frac{n}{2} +1} = X_{4} = 3 \)

\( Me = \frac{1}{2}(X_{\frac{n}{2}} + X_{\frac{n}{2}+1}) = \frac{1}{2}(2+3) = 2.5\)

Odp: Mediana z obserwacji wynosi 2.5.

Gdzie wykorzystywana jest mediana?

Mediana jest często wykorzystywana przy analizie rozkładów. Zaletą jest większa odporność na obserwacje odstające niż w przypadku średniej. Więcej można poczytać tutaj.

Mediana zarobków

Powyższą różnicę można zaobserwować licząc medianę i średnią miesięcznych zarobków w Polsce, tj. średnia wynosi około 4800 brutto natomiast mediana wynosi około 2800 brutto. Co oznacza, że w rozkładzie zarobków Polaków są Polacy, którzy zarabiają bardzo dużo przez co średnia jest zawyżona względem mediany.

Wartość mediany oznacza również, że 50% Polaków zarabia co najwyżej 2800zł brutto oraz 50% Polaków zarabia co najmniej 2800zł brutto.

Zadania na medianę

Zadanie 1

Oblicz medianę dla podanych danych: 1, 4, 6, 7, 5, 9, 7, 7, 8

Dalsza część treści jest płatna. Dokonaj zakupu lub zaloguj się

Regulamin dostępny tutaj

Sprawdź korepetycje online

Zaloguj się lub Wykup
Sprawdź Wykup
Anuluj
30dniowy abonament, 39zł
Abonament do końca sesji, 59zł
1h korepetycji 60zł
Odblokuj dostęp do wszystkich treści na 30 dni.
Sprawdź
Odblokuj dostepDokonując zamówienia potwierdzasz zapoznanie się z regulaminem
Odblokuj dostęp do wszystkich treści do końca sesji (14.07)
Sprawdź
Odblokuj dostepDokonując zamówienia potwierdzasz zapoznanie się z regulaminem
Wykup godzinne korepetycje online: 60zł
Sprawdź
WykupDokonując zamówienia potwierdzasz zapoznanie się z regulaminem
Anuluj

Zadanie 2

Określ medianę wśród ocen uczniów ze sprawdzianu z fizyki: 3, 4, 2, 3, 2, 3, 5, 3, 6, 2, 1, 2.

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 3

Określ medianę wśród danych: 1.5 , 2.5, 6 , 3 , 4

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 4

Oceny z klasówki zostały przedstawione w poniższej tabeli:

Ocena12345
Liczba uczniów251087

Oblicz medianę. Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 5:

Rozkład pewnej cechy jest dany w poniższej tabeli. Oblicz medianę.

Wartość \( X_{i} \)123456
Ilość \( n_{i} \)144111

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 6:

W tabeli zostały przedstawione zarobki w firmie informatycznej. Oblicz medianę:

Wartość \( X_{i} \) (w tys. zł)1-33-55-77-99-11
Ilość \( n_{i} \)231071

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 7:

W tabeli zostały przedstawione zarobki w firmie. Oblicz medianę:

Przedział zarobków (w tys. zł)1-33-55-77-99-11
% pracowników\( \frac{2}{23} \)\( \frac{3}{23} \)\( \frac{10}{23} \)\( \frac{7}{23} \)\( \frac{1}{23} \)

Treść dostępna po zalogowaniu

Komentarze:

  1. Mediana leży zawsze w środku, czyli jej pozycja wynosi albo n/2 dla szeregu ilościowego, albo 0.5 dla szeregu częstościowego. 0.5 oznacza dokładnie połowę przedziału, czyli ma taką samą interpretację jak n/2.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.