Mediana

Mediana (wartość przeciętna lub 2 kwartyl) leży dokładnie w środku uszeregowanych obserwacji, tzn  50% obserwacji leży na lewo od niej i 50% leży na prawo od niej. \(\)

Co możemy zapisać następująco:

\( P(X \leq Me) \geq 0.5 \) oraz \( P(X \geq Me) \geq 0.5 \)

gdzie Me to wartość mediany

Wzory na medianę:

Najczęściej wykorzystywany wzór na medianę to:

\( Me = \begin{cases} \frac{1}{2}(X_{\frac{n}{2}} + X_{\frac{n}{2}+1}) , & n\mbox{ – parzyste} \\ X_{\frac{n+1}{2}}, & n\mbox{ – nieparzyste} \end{cases} \)

Wzór ten stosujemy gdy mamy wypisane (lub zgrupowane obserwacje), czyli gdy dane podane są jako:

  1. szereg szczegółowy:
    1, 2, 3, 2, 1, 3, 5, 2
  2. szereg rozdzielczy:
    Wartość \( X_{i} \)1235
    Liczba obserwacji \( n_{i} \)2321

Inne wzory na medianę:

Uwaga:
Przed znalezieniem mediany należy uszeregować rosnąco obserwacje bo tylko wtedy będziemy mogli poprawnie wyznaczyć medianę.

Przykład:

Oblicz medianę dla obserwacji: 1,2,3,2,3,6

Najpierw uporządkujemy obserwacje: 1,2,2,3,3,6.

Mamy n=6 obserwacji. n jest parzyste więc skorzystamy ze wzoru:

\( Me = \frac{1}{2}(X_{\frac{n}{2}} + X_{\frac{n}{2}+1}) \)

\( X_{\frac{n}{2}} = X_{3} = 2\)

\( X_{\frac{n}{2} +1} = X_{4} = 3 \)

\( Me = \frac{1}{2}(X_{\frac{n}{2}} + X_{\frac{n}{2}+1}) = \frac{1}{2}(2+3) = 2.5\)

Odp: Mediana z obserwacji wynosik 2.5.

Mediana jest często wykorzystywana przy analizie rozkładów. Zaletą jest większa odporność na obserwacje odstające niż w przypadku średniej. Więcej można poczytać tutaj.

Powyższą różnicę można zaobserwować licząc medianę i średnią miesięcznych zarobków w Polsce, tj. średnia wynosi około 4800 brutto natomiast mediana wynosi około 2800 brutto.
Co oznacza, że w rozkładzie zarobków Polaków są Polacy, którzy zarabiają bardzo dużo przez co średnia jest zawyżona względem mediany.

Wartość mediany oznacza również, że 50% Polaków zarabia co najwyżej 2800zł brutto oraz 50% Polaków zarabia co najmniej 2800zł brutto.

Zadanie 1

Oblicz medianę dla podanych danych: 1, 4, 6, 7, 5, 9, 7, 7, 8

Dalsza część treści jest płatna. Dokonaj zakupu lub zaloguj się

Regulamin dostępny tutaj

Sprawdź korepetycje online

Zaloguj się lub Wykup
Sprawdź Wykup
Anuluj
30dniowy abonament, 29zł
Abonament do końca sesji 49zł
Odblokuj dostęp do wszystkich treści na 30 dni.
Sprawdź
Odblokuj dostepDokonując zamówienia potwierdzasz zapoznanie się z regulaminem
Odblokuj dostęp do końca sesji (17-02-2019).
Sprawdź
Odblokuj dostepDokonując zamówienia potwierdzasz zapoznanie się z regulaminem
Anuluj

Zadanie 2
Oceny z klasówki zostały przedstawione w poniższej tabeli:

Ocena12345
Liczba uczniów251087
Oblicz medianę.

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 3
Określ medianę wśród ocen uczniów ze sprawdzianu z fizyki:
3, 4, 2, 3, 2, 3, 5, 3, 6, 2, 1, 2.

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 4:
Określ medianę wśród danych: 1.5 , 2.5, 6 , 3 , 4

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 5:
Rozkład pewnej cechy jest dany w poniższej tabeli. Oblicz medianę.

Wartość \( X_{i} \)123456
Ilość \( n_{i} \)144111
Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 6:
W tabeli zostały przedstawione zarobki w firmie informatycznej. Oblicz medianę:

Wartość \( X_{i} \)Ilość \( n_{i} \)
1000-30002
3000-50003
5000-700010
7000-90007
9000-110001

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 7:
W tabeli zostały przedstawione zarobki w firmie. Oblicz medianę:

Przedział zarobków% pracowników
1000-3000\( \frac{2}{23} \)
3000-5000\( \frac{3}{23} \)
5000-7000\( \frac{10}{23} \)
7000-9000\( \frac{7}{23} \)
9000-11000\( \frac{1}{23} \)

Treść dostępna po zalogowaniu

Komentarze:

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.