Rzut kostką

\(\)W zadaniach, w których rzucamy kostką najczęściej mamy do czynienia z symetryczną sześcienną kostką. Taka kostka przyjmuje wartości od 1 do 6 i każda wartość jest tak samo prawdopodobna( prawdopodobieństwo wynosi \( \frac{1}{6} \)).

Jeżeli mamy więcej rzutów to te rzuty są niezależne (jeden rzut nie zależy od wyniku drugiego rzutu) czyli możemy je rozpatrywać osobno, np.

Jeżeli chcemy obliczyć prawdopodobieństwo, że w pierwszym rzucie wypadła 5, a w drugim rzucie wypadła 4 możemy zrobić następująco:

\(P(rzut1 = 5, rzut2 = 4) = P(rzut1=5) \cdot P(rzut2 = 4) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \)

(z niezależności skorzystaliśmy rozbijając pierwsze prawdopodobieństwo na 2)

Powyższy przykład możemy policzyć jeszcze w jeden sposób:
Jest tylko jedna para rzutów, która spełnia powyższe założenie: (5,4).
Wszystkich kombinacji jest 36, ponieważ w obu rzutach mamy po 6 możliwości, czyli \( 6 \cdot 6 = 36 \).
Czyli jest 1 możliwość na 36 co daje nam prawdopodobieństwo \( \frac{1}{36} \)

Oba sposoby są tak samo dobre i będziemy je stosowali w zależności od zadania.

Zadanie 1:
Oblicz prawdopodobieństwo, że suma 2 rzutów symetryczną kostką będzie:
a) większa od 9
b) mniejsza od 11
c) większa od 2

a) Suma większa od 9 jest do osiągnięcia przy rzutach:

1szy rzut2gi rzutPrawdopodobieństwo
46\( \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}\)
55, 6\( \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{2}{36}\)
64, 5, 6\( \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{6} = \frac{3}{36}\)

Ponieważ mamy 3 możliwości to prawdopodobieństwo zdarzenia będzie sumą 3 prawdopodobieństw: \( \frac{1}{36} + \frac{2}{36} + \frac{3}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \)
Odp: Prawdopodobieństwo, że suma 2 rzutów kostką będzie większa od 9 wynosi \( \frac{1}{6} \)

b) Suma mniejsza od 11 oznacza sumę równą 2 lub 3, lub 4, lub …, lub 10. Dużo liczenia. Zamiast tego policzymy zdarzenie przeciwne, czyli suma nie mniejsza od 11(czyli 11 lub 12) i skorzystamy z tego, że:

P(zdarzenia) =  1 – P(zdarzenia przeciwnego)

Aby otrzymać sumę nie mniejszą od 11 należy:

1szy rzut2gi rzutPrawdopodobieństwo
56\( \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}\)
65, 6\( \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{2}{36}\)

Tak jak poprzednio należy zsumować prawdopodobieństwo:
\( \frac{1}{36} + \frac{2}{36} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} \)

Czyli prawd. naszego zdarzenia wynosi: \( 1 – \frac{1}{12} = \frac{11}{12} \)
Odp: Prawdopodobieństwo, że suma 2 rzutów kostką będzie mniejsza od 11 wynosi \( \frac{11}{12} \)

c) ten podpunkt również policzymy ze zdarzenia przeciwnego.
Zdarzeniem przeciwnym będzie suma mniejsza bądź równa 2 (co w przypadku 2 kostek oznacza, że suma będzie równa 2).

Suma 2 rzutów wyniesie 2 kiedy w każdym rzucie wyrzucimy 1 oczko.
\( P(suma = 2) = P(rzut1 = 1, rzut2 = 1) = \)

\(P(rzut1 = 1) \cdot P(rzut2 = 1) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \)

\( P(suma > 2) = 1 – P(suma = 2) = 1 \frac{1}{36} = \frac{35}{36} \)

Odp: Prawdopodobieństwo, że suma 2 rzutów kostką będzie większa od 2 wynosi \( \frac{35}{36} \)

Zadanie 2:

Rzucamy 2 symetrycznymi kostkami. Oblicz prawdopodobieństwo, że iloczyn wyrzucony oczek będzie:
a) mniejszy bądź równy 2
b) większy do 13
c) większy bądź równy 18

a) Iloczyn mniejszy bądź równy 2, czyli może wynosić 1 lub 2

1 uzyskamy dla pary rzutów: (1,1)

2 uzyskamy dla pary rzutów: (1,2) , (2,1)

Czyli mamy 3 możliwości rzutów z 36 (ponieważ na każdej kostce mamy 6 możliwości więc liczba możliwości wynosi \( 6 \cdot 6 = 36 \) )

\( P(iloczyn \leq 2) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} \)

Odp: Prawdopodobieństwo, że iloczyn 2 rzutów kostką będzie mniejszy bądź równy 2 wynosi \( \frac{1}{12} \)

b) Iloczyn większy od 13 mamy dla następujących par rzutów:

(3,5), (3,6), (4,4), (4,5), (4,6), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)

Czyli mamy 13 możliwości z 36 co oznacza, że:

\( P(iloczyn > 13) = \frac{13}{36} \)

Odp: Prawdopodobieństwo, że iloczyn 2 rzutów kostką będzie większy od 13 wynosi \( \frac{13}{36} \)

c) Iloczyn większy bądź równy 18 mamy dla następujących par rzutów:

(3,6), (4,5), (4,6), (5,4), (5,5), (5,6), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)

\( P(iloczyn \geq 18) = \frac{10}{36} = \frac{5}{18} \)

Odp: Prawdopodobieństwo, że iloczyn 2 rzutów kostką będzie większy bądź równy 18 wynosi \( \frac{5}{18} \)

Zadanie 3:
Wykonujemy 3 rzuty symetryczną kostką. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma będzie parzysta.


Zamiast liczyć prawdopodobieństwa, że suma oczek wynosi 4,6,8, …, 18 zastanówmy się jakie wyniki rzutów dadzą parzystą sumę:
1) 3 razy parzysta liczba oczek
2) Raz parzysta liczba oczek i 2 razy nieparzysta liczba oczek

1) W każdym rzucie prawdopodobieństwo wyrzucenia parzystej liczby oczek wynosi \( \frac{1}{2} \) więc szukane prawdopodobieństwo wyniesie:\( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}\)
2) Wiemy, że prawd. wyrzucenia parzystej oraz nieparzystej liczby oczek są takie same (wynoszą \( \frac{1}{2} \) ). Teraz policzymy ile mamy kombinacji zdarzenia 1 parzysta + 2 nieparzyste:

 Kostka 1Kostka 2Kostka 3
Zdarzenie 1nieparzystaparzystaparzysta
Zdarzenie 2 parzystanieparzystaparzysta
Zdarzenie 3parzystaparzystanieparzysta

Ponieważ prawdopodobieństwo każdego zdarzenia wynosik \( \frac{1}{8} \) to 3 zdarzeń wynosi \( 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8}\)

Teraz wystarczy zsumować oba prawdopodobieństwa \( \frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \).

Prawdopodobieństwo, że suma 3 rzutów będzie parzysta wynosi \(\frac{1}{2} \).

Zadanie 4

Rzucamy 2 razy symetryczną kostką. Pierwszy rzut oznacza pierwszą cyfrę liczby dwucyfrowej, a drugi rzut oznacza drugą cyfrę liczby dwucyfrowej (np. rzuty 1 i 5 oznaczają liczbę 15). Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania:
a) liczby parzystej większej od 25
b) liczby podzielnej przez 5 mniejszej od 50

a) Liczba jest parzysta jeżeli kończy się na 0,2,4,6 lub 8. W naszym przypadku jedynymi możliwościami są 2, 4 i 6.

Dodatkowo liczba ma być większa od 25, czyli w pierwszym rzucie musi wypaść co najmniej 2, a gdy wypadnie 2 to na drugiej kostce musi wypaść 6 (żeby uzyskać 26, które jest większe od 25).

Z tego powodu podzielmy zadanie na 2 możliwości:

  1. w pierwszym rzucie wypada 2, a w drugim rzucie wypada 6\( P(rzut1 = 2, rzut2 = 6) =  P(rzut1 = 2) \cdot P(rzut2 = 6) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \)
  2. w pierwszym rzucie wypada więcej niż 2, a w drugim rzucie wypada liczba parzysta 2,4 lub 6.
    \( P(rzut1 > 2, rzut2 = parzysta) = \)
    \(P(rzut1 > 2) \cdot P(rzut2 = parzysta) = \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{6} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \)

Zapisując nasze zdarzenie jako X mamy:

P(X) = P(możliwość 1) + P(możliwość 2) = \( \frac{1}{36} + \frac{1}{3} = \frac{13}{36} \)

Odp: Szansa na wylosowanie liczby parzystej większe od 25 wynosi \( \frac{13}{36} \).

b) Liczba podzielna przez 5 to taka, która kończy się na 5.

Z tego wnioskujemy, że w drugim rzucie musi wypaść 5.
Liczba ma też być mniejsza niż 50, czyli w pierwszym rzucie musi wypaść 1, 2, 3 lub 4.

Co daje nam możliwość par rzutów: (1,5), (2,5), (3,5), (4,5)

Czyli 4 możliwości z 36 spełniają nasze założenia co daje nam

P(liczby podzielnej przez 5 i mniejszej od 50) = \( \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \)

Odp: Szansa na wylosowanie liczby podzielnej przez 5 i mniejszej od 50 wynosi \( \frac{1}{9} \).

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.