\(\) Całka nieoznaczona jest definiowana jako działanie odwrotne do różniczkowania(pochodnej) to znaczy:
Jeżeli mamy funkcję \( F(x) \) oraz jej pochodną \(f(x) = F'(x) \) wtedy
\( \int f(x) dx = F(x) + c \)
gdzie \( \int f(x) dx \) nazywamy całką funkcji f(x) po dx.

Podstawowe własności całki:

1. Jeżeli mamy stałą a oraz funkcję f(x) to
   \( \int a f(x)dx = a \int f(x)dx \)
   np. \( \int 3x^{2}dx = 3 \int x^{2}dx \)
2. jeżeli mamy funkcje f(x) + g(x) to
   \( \int (f(x) + g(x))dx= \int f(x)dx + \int g(x)dx \)
   np. \( \int (x^{3} + sin(x))dx= \int x^{3}dx + \int sin(x)dx \)

Najważniejsze wzory na całkowanie:

1. \( \int 0 dx = C \)
2. \( \int x^{n} dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) dla n całkowitego takiego, że \( n \neq -1 \)
3. \( \int \frac{1}{x} dx = ln|x| + C \)
4. \( \int a^{x}dx = \frac{a^{x}}{ln a} + C \) dla a> 0 i \( a \neq 1 \)
5. \( \int e^{x}dx = e^{x} + C \)
6. \( \int sin(x)dx = -cos(x) + C \)
7. \( \int cos(x)dx = sin(x) + C \)

Do obliczenia całek przydatne są 2 metody :
(kliknij w metodę by dowiedzieć się więcej)

Całkowanie przed podstawianie

Całkowanie przez części

Co oznacza dx?
dx oznacza, że całkujemy po zmiennej x. Ma to znaczenie np. w przypadku funkcji, które mają więcej wymiarów (np. dwa f(x,y)) wtedy całkując po dx wszystkie zmienne poza x-ami traktujemy jako stałe (czyli dla f(x,y) przy całkowaniu przez x zmienną y traktowalibyśmy jako stałą).
Zawsze pamiętajmy o pisaniu dx przy całce!

Co oznacza + c w wyniku całkowania?
C oznacza dowolną stałą. Zauważmy, że \( (F(x) + c)’ = F'(x) + c’ = F'(x) + 0 = F'(x) \) co wynika z faktu, że pochodna funkcji stałej jest równa zero.
Zróżniczkujmy obustronnie postać ogólną całki, tj. \( \int f(x) dx = F(x) + c \)
\( (\int f(x) dx) ‘ = (F(x) + c)’ \)
Ponieważ całka i pochodna są działaniami odwrotnymi to działania znoszą się (coś jak pomnożenie i podzielenie przez 2)
\(L= (\int f(x) dx) ‘= f(x) \)
\(P= (F(x) + c)’ = F'(x) = f(x)\)
Czyli wszystko się zgadza bez względu na stała c.
W przypadku całki nieoznaczonej rozwiązanie nie jest jedną funkcją, a rodziną funkcji postaci F(x) + c.

Kiedy należy pisać + c?
Zawsze przy obliczaniu całki nieoznaczonej. Jest to bardzo ważne i należy na to zwrócić szczególną uwagę. Czyli w momencie, w którym znika symbol całki musimy wstawić + c :)

Zadanie 1

Oblicz całkę \( \int x^{-3} dx \)

Skorzystamy ze wzoru \( \int x^{n} dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)

W naszym przypadku \( n = -3 \)

\( \int x^{-3} dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C = \frac{x^{-3 + 1}}{-3 + 1} + C = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^{2}} + C \)

Zadanie 2

Oblicz całkę \( \int e^{x} + \frac{1}{x}dx \)

Skorzystamy ze wzoru: \( \int (f(x) + g(x))dx= \int f(x)dx + \int g(x)dx \)

gdzie \( f(x) = e^{x} \), a \( g(x) = \frac{1}{x} \)

\( \int e^{x} dx  = e^{x} + C \)

\( \int \frac{1}{x} dx = ln|x|+ C \)

\( \int (f(x) + g(x))dx= \int f(x)dx + \int g(x)dx = e^{x} + C +  ln|x|+ C  =  e^{x} +  ln|x|+ C\)

Ponieważ C reprezentuje dowolną stałą to nie musimy pisać 2C, wystarczy samo C.

Zadanie 3

Oblicz  całkę \( \int 3 \cdot 2^{x}dx \)

Skorzytamy z 2 wzorów:

1. \( \int a f(x)dx = a \int f(x)dx \)
   W naszym przypadu \(a = 3\), a \( f(x) = 2^{x} \)\(\Rightarrow \int 3 \cdot 2^{x}dx = 3\int 2^{x}dx \)
2. \( \int a^{x}dx = \frac{a^{x}}{ln a} + C \) dla a> 0 i \( a \neq 1 \)
   W naszym przypadku \( a = 2\), czyli a> 0 i \( a \neq 1 \)\( \Rightarrow  \int 2^{x}dx = \frac{2^{x}}{ln 2} + C \)

Łącząc oba wzory otrzymujemy:

\( \int 3 \cdot 2^{x}dx = 3\int 2^{x}dx = 3(\frac{2^{x}}{ln 2} + C ) = \frac{3\cdot 2^{x}}{ln2} + C\)

Ponieważ C reprezentuje dowolną stałą to nie musimy pisać 3C, wystarczy samo C.