Całka nieoznaczona

Całka nieoznaczona jest definiowana jako działanie odwrotne do różniczkowania ( odwrotność pochodnej) to znaczy:
Jeżeli mamy funkcję \( F(x) \) oraz jej pochodną \(f(x) = F'(x) \) wtedy
\( \int f(x) dx = F(x) + c \)
gdzie \( \int f(x) dx \) nazywamy całką funkcji f(x) po dx.

Co oznacza dx?
dx oznacza, że całkujemy po zmiennej x. Ma to znaczenie np. w przypadku funkcji, które mają więcej wymiarów (np. dwa f(x,y)) wtedy całkując po dx wszystkie zmienne poza x-ami traktujemy jako stałe (czyli dla f(x,y) przy całkowaniu zmienną y traktowalibyśmy jako stałą). Zawsze pamiętajmy o napisaniu tego człona!

Co oznacza +c w wyniku całkowania?
C oznacza dowolną stałą. Zauważmy, że \( (F(x) + c)’ = F'(x) + c’ = F'(x) + 0 = F'(x) \) co wynika z faktu, że pochodna funkcji stałej jest równa zero.
Zróżniczkujmy obustronnie postać ogólną całki, tj. \( \int f(x) dx = F(x) + c \)
\( (\int f(x) dx) ‘ = (F(x) + c)’ \)
Ponieważ całka i pochodna są działaniami odwrotnymi to działania znoszą się (coś jak pomnożenie i podzielenie przez 2)
\(L= (\int f(x) dx) ‘= f(x) \)
\(P= (F(x) + c)’ = F'(x) = f(x)\)
Czyli wszystko się zgadza bez względu na stała c.
W przypadku całki nieoznaczonej rozwiązanie nie jest jedną funkcją, a rodziną funkcji postaci F(x) + c.

Kiedy należy pisać +c?
Zawsze przy obliczaniu całki nieoznaczonej. Jest to bardzo ważne i należy na to zwrócić szczególną uwagę. Czyli w momencie, w którym znika symbol całki musimy wstawić c:)

Podstawowe własności całki:

  1. Jeżeli mamy stałą a oraz funkcję f(x) to
    \( \int a f(x)dx = a \int f(x)dx \)
  2. jeżeli mamy funkcje f(x) + g(x) to
    \( \int (f(x) + g(x))dx= \int f(x)dx + \int g(x)dx \)

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.