Całkowanie przez części jest jednym z dwóch najważniejszych sposobów rozwiązywania całek. \(\)

Jeżeli mamy funkcje f(x) i g(x), które mają ciągłe pochodne to:

\( \int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) – \int f'(x)g(x)dx \)

Całkowanie przez części najczęściej stosujemy gdy zróżniczkowanie jednego z członów spowoduje jego zniknięcie.

Przykład:

Oblicz całkę \( \int x \sin(x) dx \)

Mamy tutaj 2 funkcje: \( x \) oraz  \( \sin x \)
Zwróćmy uwagę, że \( x’ = 1 \) więc przyjmując \( f(x) = x \) mamy:

\( f'(x) = 1 \) oraz \(\int f'(x)g(x)dx = \int 1 \cdot g(x)dx = \int g(x) dx\)

Co oznacza, że pod całką znajduje się tylko jednak funkcja, tj. g(x)!

Skoro \( f(x) = x \) to \( g'(x) = sin(x) \)

Potrzebujemy jeszcze wyliczyć g(x):

\( g(x) = \int g'(x) dx = \int \sin(x) = -\cos(x) + C \)

Mając wszystko możemy zapisać równanie:

\( \int x \sin x dx = x \cdot (-\cos x ) – \int 1 \cdot(-\cos x )dx = \)
\(-x \cos x +\int \cos x = -x \cos x + \sin x + C \)