Całkowanie przed podstawianie

Całkowanie przed podstawianie jest jednym z dwóch najważniejszych sposobów rozwiązywania całek. \(\)

Jeżeli całkę można sprowadzić do postaci \( \int f(g(x)) g'(x)dx \) to możemy skorzystać z podstawienia \( t = g(x) \) wtedy :

\( \int f(g(x)) g'(x)dx = \int f(t) dt \)

Całkowanie przez podstawianie wykorzystuje się w przypadku gdy wewnątrz prostej funkcji mamy coś skomplikowanego, np. zamiast \( x^{3} \) mamy \( (2x+3)^{3} \).
Wtedy \( f(x) = x^{3} \), a \( g(x) = 2x + 3 \)

Przykład
Oblicz całkę \( \int x \sin x^{2} \)

Umiemy całkować funkcję \( \sin x \) jednak \( \sin x^{2} \) wygląda bardziej problematycznie.

Dlatego będziemy chcieli dokonać podstawienia \( t = x^{2} \)

Potrzebujemy jeszcze wyliczyć dt: \( dt = t’ = (x^{2})’ = 2x dx\)

Jak widać potrzebujemy 2x a mamy x. W tym celu wykonamy jeszcze jedno przekształcenie:

\( \int x \sin x^{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 \int x \sin x^{2} = \frac{1}{2} \int 2x \sin x^{2} \)

\( \frac{1}{2} \cdot 2 x \sin x^{2} dx = \frac{1}{2} \sin x^{2} \cdot 2xdx = \frac{1}{2} \sin(t) dt = \frac{1}{2} \cdot (- \cos t + C) \)

Teraz musimy jeszcze wrócić do zmiennej x, gdzie ( \(t = x^{2} \) ):
\( \int x \sin x^{2}dx =  \frac{1}{2} \cdot (- \cos t + C) = -\frac{1}{2} \cos x^{2} + C\)

Ponieważ C reprezentuje dowolną stałą to nie musimy pisać \( \frac{1}{2} C \), wystarczy samo C.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.