Rzut kostką

Zadanie 1: \(\)
Oblicz prawdopodobieństwo, że suma 2 rzutów kostką będzie:
a) większa od 9
b) mniejsza od 11

a) Suma większa od 9 jest do osiągnięcia przy rzutach:

1szy rzut2gi rzutPrawdopodobieństwo
46\( \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}\)
55, 6\( \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{2}{36}\)
64, 5, 6\( \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{6} = \frac{3}{36}\)

Ponieważ mamy 3 możliwości to prawdopodobieństwo zdarzenia będzie sumą 3 prawdopodobieństw: \( \frac{1}{36} + \frac{2}{36} + \frac{3}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \)
Odp: Prawdopodobieństwo, że suma 2 rzutów kostką będzie większa od 9 wynosi \( \frac{1}{6} \)

b) Suma mniejsza od 11 oznacza sumę równą 2 lub 3, lub 4, lub …, lub 10. Dużo liczenia. Zamiast tego policzymy zdarzenie przeciwne, czyli suma nie mniejsza od 11(czyli 11 lub 12) i skorzystamy z tego, że:

P(zdarzenia) =  1 – P(zdarzenia przeciwnego)

Aby otrzymać sumę nie mniejszą od 11 należy:

1szy rzut2gi rzutPrawdopodobieństwo
56\( \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}\)
65, 6\( \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{2}{36}\)

Tak jak poprzednio należy zsumować prawdopodobieństwo:
\( \frac{1}{36} + \frac{2}{36} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} \)

Czyli prawd. naszego zdarzenia wynosi: \( 1 – \frac{1}{12} = \frac{11}{12} \)
Odp: Prawdopodobieństwo, że suma 2 rzutów kostką będzie mniejsza od 11 wynosi \( \frac{11}{12} \)

Zadanie 2:
Wykonujemy 3 rzuty kostką. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma będzie parzysta.
Zamiast liczyć prawdopodobieństwa, że suma oczek wynosi 4,6,8, …, 18 zastanówmy się jakie wyniki rzutów dadzą parzystą sumę:
1) 3 razy parzysta liczba oczek
2) Raz parzysta liczba oczek i 2 razy nieparzysta liczba oczek

1) W każdym rzucie prawdopodobieństwo wyrzucenia parzystej liczby oczek wynosi \( \frac{1}{2} \) więc szukane prawdopodobieństwo wyniesie:\( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}\)
2) Wiemy, że prawd. wyrzucenia parzystej oraz nieparzystej liczby oczek są takie same (wynoszą \( \frac{1}{2} \) ). Teraz policzymy ile mamy kombinacji zdarzenia 1 parzysta + 2 nieparzyste:

 Kostka 1Kostka 2Kostka 3
Zdarzenie 1nieparzystaparzystaparzysta
Zdarzenie 2 parzystanieparzystaparzysta
Zdarzenie 3parzystaparzystanieparzysta

Ponieważ prawdopodobieństwo każdego zdarzenia wynosik \( \frac{1}{8} \) to 3 zdarzeń wynosi \( 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8}\)

Teraz wystarczy zsumować oba prawdopodobieństwa \( \frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \).

Prawdopodobieństwo, że suma 3 rzutów będzie parzysta wynosi \(\frac{1}{2} \).