Wzory skróconego mnożenia to nazwa zbiorcza dla wzorów ułatwiających działania na potęgach. Znając dany wzór w łatwy sposób możemy wykonać działanie bez potrzeby żmudnych obliczeń.
Wzory skróconego mnożenia są szczególnie przydatne przy obliczeniach zawierających niewiadome, np. \( (x+2)^{2} \) lub pierwiastki, np. \( (2 + \sqrt{2})^{3} \)
Poniżej przedstawiono najczęściej wykorzystywane wzory skróconego mnożenia:
Kwadrat sumy
\( (a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} \)
Kwadrat różnicy
\( (a-b)^{2} = a^{2} – 2ab + b^{2} \)
Różnica kwadratów
\( a^{2} – b^{2} = (a+b)(a-b) \)
Sześcian sumy
\( (a+b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b +3ab^{2} + b^{3} \)
Sześcian różnicy
\( (a-b)^{3} = a^{3} – 3a^{2}b +3ab^{2} – b^{3} \)
Przykłady:
1) \( (3 + x) ^{2} = 3^{2} + 2 \cdot 3 \cdot x + x^{2} = 9 + 6x + x^{2} \)
2) \( (5 – \sqrt{2}) ^{2} = 5^{2} – 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2}^{2} = 25 – 10\sqrt{2} + 2 = 27 – 10\sqrt{2} \)
3) \( (\sqrt{2} – \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3}) = \sqrt{2}^{2} – \sqrt{3}^{2} = 2-3 = -1 \)