\(\)

Zadanie 1:
Pewien zakład produkcyjny zatrudnia 1000 pracowników, których staż pracy jest zgodny z rozkładem normalnym N(10 lat, 5 lat).

1) \( P(X < 2) = P( \frac{X – 10}{5} < \frac{2 – 10}{5} ) = P(Z < -1.6) = \Phi(-1.6) = \)
\(= 1 – \Phi(1.6) \approx 1 – 0.94520 = 0.0548 \)

Odp: 5.48% pracowników ma staż pracy poniżej 2 lat.

2) \( P(3 \leq X \leq 11) = P( \frac{3- 10}{5} \leq  \frac{X – 10}{5} \leq \frac{11 – 10}{5}) =\)

\(= P(-1.4 \leq Z \leq 0.2) = P(Z \leq 0.2) – P( Z < -1.4) =\)

\( = \Phi(0.2) – \Phi(-1.4) = \Phi(0.2) – (1 – \Phi(1.4)) = \)

\( = 0.57926 – (1 – 0.91924) = 0.4985 \)

Odp: 49.85% pracowników ma staż pracy w granicach 3-11 lat.

3) \( P(X > 17) = P(\frac{X – 10}{5} > \frac{17-10}{5}) = P(Z > 1.4) = \)
\(= 1- \Phi(1.4) \approx 1 -0.91924 = 0.08076\)

Odp: 8.1% pracowników ma staż pracy powyżej 17 lat.

4) \( P(X > 9) = P(\frac{X – 10}{5} > \frac{9-10}{5}) = P(Z > -0.2) = \)
\(= \Phi(0.2) \approx 0.57926\)

Póki co wyliczyliśmy prawdopodobieństwo dla jednego pracownika
Aby wyliczyć ilość osób musimy skorzystać ze wzoru:

\(n_{i} = n \cdot p_{i} \)

\( n_{i} \)- ilość pracowników spełniająca podane kryterium
n- ilość pracowników
\( p_{i} \) – prawdopodobieństwo, że dany pracownik spełnia kryterium

Czyli liczba pracowników w podpunkcie 9 wynosi:

\(n_{i} = 1000 \cdot 0.57926 \approx 579 \)

Odp: 579 pracowników ma staż dłuższy niż 9 lat.

 

Zadanie 2:
Rzucasz 10 razy dwiema monetami. Chcesz uzyskać dwie reszki. Rozwiąż zadanie z wykorzystaniem schematu Bernoulliego.
1) Prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie (pojedynczym rzucie dwiema monetami):
2) Prawdopodobieństwo porażki w pojedynczej próbie (pojedynczym rzucie dwiema monetami)
3) Oblicz prawdopodobieństwo, że co najwyżej 4 razy wyrzucisz dwie reszki.
4) Oblicz prawdopodobieństwo, że co najmniej 4 razy wyrzucisz dwie reszki.
5) Oblicz prawdopodobieństwo, że dokładnie 4 razy wyrzucisz dwie reszki.

1)
\( p = \frac{1}{2} \) prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki w 1 rzucie.
\( n = 2 \) bo mamy 2 rzuty w próbie

X – liczba reszek

\( P(X = 2) = {2\choose 2} \cdot 0.5^{2} \cdot (1-0.5)^{2-2} = 1 \cdot 0.25 \cdot 1 = 0.25 \)

2) Prawd. porażki = 1 – prawd. sukcesu więc

\( P(X < 2) = 1 – P(X = 2) = 1 – 0.25 = 0.75 \)

3-5)
Teraz przechodzimy do innego zdarzenia mianowicie:
1 zdarzenie to 2 rzuty gdzie \( p = 0.25 \), a \(n = 10\)

3)

\( P(X \leq 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) \)

\( P(X = 0) = {10\choose 0} \cdot 0.25^{0} \cdot (1-0.25)^{10-0} = 0.75^{10} \approx 0.056\)

\( P(X = 1) = {10\choose 1} \cdot 0.25^{1} \cdot (1-0.25)^{10-1} = 10 \cdot 0.25 \cdot 0.75^{9} \approx 0.188\)

\( P(X = 2) = {10\choose 2} \cdot 0.25^{2} \cdot (1-0.25)^{10-2} = 45 \cdot 0.25^{2}\cdot 0.75^{8} \approx 0.282\)

\( P(X = 3) = {10\choose 3} \cdot 0.25^{3} \cdot (1-0.25)^{10-3} = 120 \cdot 0.25^{3}\cdot 0.75^{7} \approx 0.25\)

\( P(X = 4) = {10\choose 4} \cdot 0.25^{4} \cdot (1-0.25)^{10-4} = 210 \cdot 0.25^{4}\cdot 0.75^{6} \approx 0.146\)

\( P(X \leq 4) \approx 0.922 \)

4)

\( P(X \geq 4) = 1 – P(X < 4)\)

\( P(X < 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) \approx 0.776\)

\( P(X \geq 4) \approx 1 – 0.776 = 0.224 \)

5)

\( P(X = 4) = \approx 0.146\)