Wariancja – szereg szczegółowy

\(\)

Wariancja w szeregu szczegółowym wyraża się wzorem:

Definicja:

\( VarX = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n (X_{i}- \overline{X})^{2} = \frac{ (X_{1}-\overline{X})^2 + \ldots + (X_{n}-\overline{X})^2}{n}\)

\( X_{i} \) – wartość i-tej obserwacji
n- ilość prób
\( {X} \) – średnia wyliczoną z obserwacji.

Przykład:

Oblicz średnia liczb: 2, 3, 4, 2, 1.

Średnią policzyliśmy wcześniej, więc tylko dla przypomnienia \( \overline{X} = 2.4 \)

Możemy już skorzystać ze wzoru na wariację, który doprowadzi nas do takiej postaci:

\( VarX = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n (X_{i}- \overline{X})^{2} \) = \( \frac{1}{5} ( (2-2.4)^{2} +(3-2.4)^{2} +(4-2.4)^{2} + (2-2.4)^{2} + (1-2.4)^{2}) \)

Przy takim rozpisaniu nie trudno o błąd więc proponuję zrobić tabelkę zawierającą pola \( X_{i}\), \( X_{i} – \overline{X} \), \( (X_{i} – \overline{X})^{2} \)

\(X_{i} \)\( X_{i} - \overline{X} \)\( (X_{i} - \overline{X})^{2} \)
2\( 2 - 2.4 = -0.4 \)0.16
30.60.36
41.62.56
2-0.40.16
1-1.41.96
\( \sum (X_{i} - \overline{X})^{2} =5.2 \)

Ilość obserwacji wynosi n = 5, a wariancja wynosi:

\( VarX = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n (X_{i}- \overline{X})^{2} \) = \( \frac{1}{5} \cdot 5.2 = 1.04 \)

a odchylenie standardowe: \( \sigma = \sqrt{1.04} \approx 1.02 \)