Wariancja - szereg szczegółowy

Wariancja w szeregu szczegółowym wyraża się wzorem:

Definicja:

 \Large VarX = \dfrac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n (X_{i}- \overline{X})^{2} = \dfrac{ (X_{1}-\overline{X})^2 + \ldots + (X_{n}-\overline{X})^2}{n}

 X_{i} - wartość i-tej obserwacji
n- ilość prób
 \overline{X} - średnia wyliczoną z obserwacji.

 

Przykład:

Oblicz średnia liczb: 2, 3, 4, 2, 1.

Średnią policzyliśmy wcześniej, więc tylko dla przypomnienia  \overline{X} = 2.4

Możemy już skorzystać ze wzoru na wariację, który doprowadzi nas do takiej postaci:

 VarX = \dfrac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n (X_{i}- \overline{X})^{2} =  \dfrac{1}{5} ( (2-2.4)^{2} +(3-2.4)^{2} +(4-2.4)^{2} + (2-2.4)^{2} + (1-2.4)^{2})

 

Przy takim rozpisaniu nie trudno o błąd więc proponuję zrobić tabelkę zawierającą pola  X_{i},  X_{i} - \overline{X} ,  (X_{i} - \overline{X})^{2}

\Large X_{i}  \Large X_{i} - \overline{X}  \Large (X_{i} - \overline{X})^{2}
2 2 - 2.4 = -0.4 0.16
30.60.36
41.62.56
2-0.40.16
1-1.41.96
 \Large \sum (X_{i} - \overline{X})^{2} =5.2

Ilość obserwacji wynosi n = 5, a wariancja wynosi:

 VarX = \dfrac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n (X_{i}- \overline{X})^{2} =  \dfrac{1}{5} \cdot 5.2 = 1.04

a odchylenie standardowe:  \sigma = \sqrt{1.04} \approx 1.02