Wariancja - szereg rozdzielczy

Wariancję w szeregu rozdzielczym punktowym można wyliczyć na 2 sposoby: korzystając z ilości  n_{i} lub z częstości  \omega_{i}

Definicja:

 \Large VarX = \dfrac{1}{n} \sum (X_{i}- \overline{X})^{2}\cdot n_{i}

lub

 \Large VarX= \sum(X_{i}- \overline{X})^{2} \cdot \omega_{i}

 \Large n - ilość obserwacji
 \Large X_{i} - wartość i-tej obserwacji
 \Large n_{i} - liczebność i-tej obserwacji/przedziału
 \Large \omega_{i} - częstość i-tej obserwacji/przedziału
 \Large \overline{X}_{i} - wartość środkowa i-tego przedziału

 

Przykład:

Dane dotyczą liczby godzin postojowych w tygodniu wśród przebadanych 20 oddziałów pewnego zakładu. Oblicz wariancję:

Liczba godzin postojowych  X_{i} Liczba oddziałów  n_{i} Częstość oddziałów  \omega_{i}
05 \dfrac{5}{20} = 0.25
150.25
260.3
310.05
430.15
n = 20 \sum \omega_{i} = 1

Pamiętajmy sprawdzić czy częstości sumują się do 1!

 

Najpierw policzmy średnią mp. korzystając z częstości:

 \overline{X} = \sum X_{i} \cdot \omega_{i} = 0 \cdot 0.25 + 1 \cdot 0.25 +2 \cdot 0.3 + 3 \cdot 0.05 + 4 \cdot 0.15 = 1.6

 

Teraz stworzymy 2 dodatkowe kolumny:  X_{i} - \overline{X} oraz  (X_{i} - \overline{X})^{2} :

Liczba godzin postojowych  X_{i}  X_{i} - \overline{X}  (X_{i} - \overline{X})^{2}
00 - 1.6 = -1.62.56
1-0.60.36
20.40.16
31.41.96
42.45.76

 

Policzenie wariancji korzystając z ilości  n_{i} :

Do policzenia wariancji korzystając z ilości potrzebujemy jeszcze kolumny  (X_{i} - \overline{X})^{2} \cdot n_{i}

Liczba godzin postojowych X_{i} Liczba oddziałów  n_{i}  (X_{i} - \overline{X})^{2}  (X_{i} - \overline{X})^{2} \cdot n_{i}
052.56 2.56 \cdot 5 = 12.8
150.361.8
260.160.96
311.961.96
435.7617.28
 \sum (X_{i} - \overline{X})^{2} \cdot n_{i} = 34.8

Na samym dole policzyliśmy dodatkowo  \sum (X_{i} - \overline{X})^{2} \cdot n_{i} , czyli sumę 4tej kolumny.

 VarX = \dfrac{1}{n} \sum (X_{i}- \overline{X})^{2}\cdot n_{i} =\dfrac{1}{20} \cdot 34.8 \approx 1.74

a odchylenie standardowe:  \sigma = \sqrt{1.74} \approx 1.32

 

Policzenie wariancji korzystając z częstości  \omega_{i} :

Do policzenia wariancji korzystając z ilości potrzebujemy jeszcze kolumny  (X_{i} - \overline{X})^{2} \cdot \omega_{i}

Liczba godzin postojowych X_{i} Częstość oddziałów  \omega_{i}  (X_{i} - \overline{X})^{2}  (X_{i} - \overline{X})^{2} \cdot \omega_{i}
00.252.56 2.56 \cdot 0.25 = 0.64
10.250.360.09
20.30.160.05
30.051.960.1
40.155.760.86
 \sum (X_{i} - \overline{X})^{2} \cdot n_{i} = 1.74

Na samym dole policzyliśmy dodatkowo  \sum (X_{i} - \overline{X})^{2} \cdot \omega_{i} , czyli sumę 4tej kolumny.

 VarX = 1.74

a odchylenie standardowe:  \sigma = \sqrt{1.74} \approx 1.32