Wariancja – szereg rozdzielczy

\(\)

Wariancję w szeregu rozdzielczym punktowym można wyliczyć na 2 sposoby: korzystając z ilości \( n_{i} \) lub z częstości \( \omega_{i} \)

Definicja:

\( VarX = \frac{1}{n} \sum (X_{i}- \overline{X})^{2}\cdot n_{i} \)

lub

\( VarX= \sum(X_{i}- \overline{X})^{2} \cdot \omega_{i} \)

\( n \) – ilość obserwacji
\( X_{i} \) – wartość i-tej obserwacji
\( n_{i} \) – liczebność i-tej obserwacji/przedziału
\( \omega_{i} \) – częstość i-tej obserwacji/przedziału
\( \overline{X}_{i} \) – wartość środkowa i-tego przedziału

Przykład:

Dane dotyczą liczby godzin postojowych w tygodniu wśród przebadanych 20 oddziałów pewnego zakładu. Oblicz wariancję:

Liczba godzin postojowych \( X_{i} \)Liczba oddziałów \( n_{i} \)Częstość oddziałów \( \omega_{i} \)
05\( \frac{5}{20} = 0.25 \)
150.25
260.3
310.05
430.15
n = 20\( \sum \omega_{i} = 1 \)

Pamiętajmy sprawdzić czy częstości sumują się do 1!

Najpierw policzmy średnią mp. korzystając z częstości:

\( \overline{X} = \sum X_{i} \cdot \omega_{i} = 0 \cdot 0.25 + 1 \cdot 0.25 +2 \cdot 0.3 + 3 \cdot 0.05 + 4 \cdot 0.15 = 1.6 \)

Teraz stworzymy 2 dodatkowe kolumny: \( X_{i} – \overline{X} \) oraz \( (X_{i} – \overline{X})^{2} \):

Liczba godzin postojowych \( X_{i} \)\( X_{i} - \overline{X} \)\( (X_{i} - \overline{X})^{2} \)
00 - 1.6 = -1.62.56
1-0.60.36
20.40.16
31.41.96
42.45.76

Policzenie wariancji korzystając z ilości \( n_{i} \):

Do policzenia wariancji korzystając z ilości potrzebujemy jeszcze kolumny \( (X_{i} – \overline{X})^{2} \cdot n_{i} \)

Liczba godzin postojowych \(X_{i} \)Liczba oddziałów \( n_{i} \)\( (X_{i} - \overline{X})^{2} \)\( (X_{i} - \overline{X})^{2} \cdot n_{i}\)
052.56\( 2.56 \cdot 5 = 12.8 \)
150.361.8
260.160.96
311.961.96
435.7617.28
\( \sum (X_{i} - \overline{X})^{2} \cdot n_{i} = 34.8 \)

Na samym dole policzyliśmy dodatkowo \( \sum (X_{i} – \overline{X})^{2} \cdot n_{i} \), czyli sumę 4tej kolumny.

\( VarX = \frac{1}{n} \sum (X_{i}- \overline{X})^{2}\cdot n_{i} =\frac{1}{20} \cdot 34.8 \approx 1.74\)

a odchylenie standardowe: \( \sigma = \sqrt{1.74} \approx 1.32 \)

Policzenie wariancji korzystając z częstości \( \omega_{i} \):

Do policzenia wariancji korzystając z ilości potrzebujemy jeszcze kolumny \( (X_{i} – \overline{X})^{2} \cdot \omega_{i} \)

Liczba godzin postojowych \(X_{i} \)Częstość oddziałów \( \omega_{i} \)\( (X_{i} - \overline{X})^{2} \)\( (X_{i} - \overline{X})^{2} \cdot \omega_{i}\)
00.252.56\( 2.56 \cdot 0.25 = 0.64\)
10.250.360.09
20.30.160.05
30.051.960.1
40.155.760.86
\( \sum (X_{i} - \overline{X})^{2} \cdot n_{i} = 1.74 \)

Na samym dole policzyliśmy dodatkowo \( \sum (X_{i} – \overline{X})^{2} \cdot \omega_{i} \), czyli sumę 4tej kolumny.

\( VarX = 1.74 \)

a odchylenie standardowe: \( \sigma = \sqrt{1.74} \approx 1.32 \)