Wariancja- szereg przedziałowy

\(\)

Wariancję w szeregu przedziałowym będziemy liczyć podobnie jak wariancję w szeregu rozdzielczym z tym, że najpierw -jak w przypadku średniej w szeregu rozdzielczym, musimy uśrednić wartości:

\( \overline{X}_{i} = \frac{X_{p} + X_{k}}{2} \) – środek przedziału, gdzie \(X_{p}\)- początek przedziału, a \( X_{k} \)- koniec przedziału.

Wariancję w szeregu przedziałowym można wyliczyć na 2 sposoby: korzystając z ilości
\( n_{i} \) lub z częstości \( \omega_{i} \)

Definicja:

\( VarX = \frac{1}{n} \sum (\overline{X}_{i}- \overline{X})^{2}\cdot n_{i} \)

lub

\( VarX= \sum(\overline{X}_{i}- \overline{X})^{2} \cdot \omega_{i} \)

\( n \) – ilość obserwacji
\( n_{i} \) – liczebność i-tego przedziału
\( \omega_{i} \) – częstość obserwacji i-tego przedziału
\( \overline{X}_{i} \) – wartość środkowa i-tego przedziału
\( \overline{X} \) – średnia z wszystkich przedziałów

 Przykład:

Wykorzystamy ten sam przykład co w średnia – szereg przedziałowy:

W tabeli zostały przedstawione zarobki w firmie informatycznej. Oblicz na 2 sposoby wariancję:

Wartość \( X_{i} \)Ilość \( n_{i} \)
1000-30002
3000-50003
5000-700010
7000-90007
9000-110001

Ilość obserwacji n = 23.

Najpierw dla każdego przedziału policzymy wartość środkową \( \overline{X}_{i} \):

Wartość \( X_{i} \)Ilość \( n_{i} \)Wartość środkowa \( \overline{X}_{i} \)
1000-30002\( \frac{1000+3000}{2} = 2000 \)
3000-500034000
5000-7000106000
7000-900078000
9000-11000110000

Średnia dla wszystkich danych została policzona w statystyka- szereg przedziałowy, więc tylko dla przypomnienia \( \overline{X} = \) 6173.91zł

Teraz dla każdego przedziału policzymy \( \overline{X}_{i}- \overline{X} \) oraz
\( (\overline{X}_{i}- \overline{X})^{2} \):

Wartość \( X_{i} \)Ilość \( n_{i} \)Wartość środkowa \( \overline{X}_{i} \)\( \overline{X}_{i} -\overline{X} \)\( (\overline{X}_{i} -\overline{X})^{2} \)
1000-300022000\(2000-6173.91 = -4173.91 \)17421524.69
3000-500034000-2173.914725884.69
5000-7000106000-173.9130244.69
7000-9000780001826.093334604.69
9000-110001100003826.0914638964,69

 

Policzenie średniej korzystając z ilości \( n_{i} \)

Potrzebna nam jest jeszcze kolumna: \( (\overline{X}_{i}- \overline{X})^{2} \cdot n_{i} \)

Dla czytelności pominę kolumnę \( \overline{X}_{i} \):

Wartość \( X_{i} \)Ilość \( n_{i} \)\( \overline{X}_{i} -\overline{X} \)\( (\overline{X}_{i} -\overline{X})^{2} \)\( (\overline{X}_{i}- \overline{X})^{2} \cdot n_{i} \)
1000-30002-4173.9117421524.6934843049,38
3000-50003-2173.914725884.6914177654,06
5000-700010-173.9130244.69302446,88
7000-900071826.093334604.6923342232,82
9000-1100013826.0914638964,6914638964,69
\( \sum \overline{X}_{i}- \overline{X})^{2} \cdot n_{i} = 87304347,83 \)

Teraz możemy skorzystać ze wzoru tzn.

\( VarX = \frac{1}{n} \sum (\overline{X}_{i}- \overline{X})^{2} \cdot n_{i} = \frac{1}{23} \cdot 87304347.83 = 3795841.21 \) \(^{2}\)

a odchylenie standardowe \( \sigma = \sqrt{VarX} = \sqrt{3795841.21}=1948.29 \) zł.

 

Policzenie średniej korzystając z częstości \( \omega_{i} \)

Częstości zostały wyliczone w średnia-szereg przedziałowy więc skorzystamy z tego.

Dodatkowo policzmy kolumnę: \( (\overline{X}_{i}- \overline{X})^{2} \cdot \omega_{i} \)

Wartość \( X_{i} \)Częstości \( \omega_{i} \)\( \overline{X}_{i} -\overline{X} \)\( (\overline{X}_{i} -\overline{X})^{2} \)\( (\overline{X}_{i}- \overline{X})^{2} \cdot \omega_{i} \)
1000-3000\( \frac{2}{23} \)-4173.9117421524.69\( \frac{2}{23} \cdot 17421524.69 =1514915.19 \)

3000-5000\( \frac{3}{23} \)-2173.914725884.69616419.74

5000-7000\( \frac{10}{23} \)-173.9130244.6913149.86

7000-9000\( \frac{7}{23} \)1826.093334604.691014879,69
9000-11000\( \frac{1}{23} \)3826.0914638964,69636476,73

\( \sum (\overline{X}_{i}-\overline{X})^{2} \cdot \omega_{i}=3795841.21\)

czyli zgodnie ze wzorem:

\( VarX= \sum(\overline{X}_{i}- \overline{X})^{2} \cdot \omega_{i} =3795841.21\) \(^{2}\)

a odchylenie standardowe \( \sigma = \sqrt{VarX} = \sqrt{3795841.21}=1948.29 \) zł.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.