Średnia – szereg przedziałowy

\(\)

Średnią w szeregu przedziałowym będziemy liczyć podobnie jak średnią w szeregu rozdzielczym z jednym wyjątkiem. Szereg rozdzielczy zawieraj konkretne wartości, a szereg przedziałowy przedziały.

Załóżmy, że mamy przedział 1000-3000zł. Jakiej wartości się spodziewamy?

Najbardziej intuicyjna jest odpowiedź, że spodziewamy się wartości koło środka, czyli 2000zł. I taka będzie różnica we wzorze, że zamiast brać wartość \( X_{i} \) będziemy brali
\( \overline{X}_{i} = \frac{X_{p}+X_{k}}{2}\), gdzie \( X_{p} \)- początek przedziału, \( X_{k} \)- koniec przedziału.

Średnią w szeregu przedziałowym można wyliczyć na 2 sposoby: korzystając z ilości \( n_{i} \) lub z częstości \( \omega_{i} \)

Definicja:

\( \overline{X} = \frac{1}{n} \sum \overline{X}_{i} \cdot n_{i} \)

lub

\( \overline{X}= \sum \overline{X}_{i} \cdot \omega_{i} \)

n – ilość obserwacji
\( n_{i}\) – ilość obserwacji w i-tym punkcie
\( \omega_{i} \) – częstość obserwacji w i-tym punkcie
\( \overline{X}_{i} \) – środek i-tego przedziału

 

Przykład:

W tabeli zostały przedstawione zarobki w firmie informatycznej. Oblicz na 2 sposoby średnią:

Wartość \( X_{i} \)Ilość \( n_{i} \)
1000-30002
3000-50003
5000-700010
7000-90007
9000-110001

Ilość obserwacji n = 23.

Najpierw dla każdego przedziału policzymy wartość środkową \( \overline{X}_{i} \):

Wartość \( X_{i} \)Ilość \( n_{i} \)Wartość środkowa \( \overline{X}_{i} \)
1000-30002\( \frac{1000+3000}{2} = 2000 \)
3000-500034000
5000-7000106000
7000-900078000
9000-11000110000

 

Policzenie średniej korzystając z ilości \( n_{i} \)

Teraz policzymy \( \overline{X}_{i} \cdot n_{i} \):

Wartość \( X_{i} \)Ilość \( n_{i} \)Wartość środkowa \( \overline{X}_{i} \)\( \overline{X}_{i} \cdot n_{i} \)
1000-300022000\( 2 \cdot 2000 = 4000 \)
3000-50003400012000
5000-700010600060000
7000-90007800056000
9000-1100011000010000
\( \sum \overline{X}_{i} \cdot n_{i} = 142000 \)

Teraz możemy skorzystać ze wzoru tzn.

\( \overline{X} = \frac{1}{n} \sum \overline{X}_{i} \cdot n_{i} \) = \( \frac{1}{23} \cdot 142000 \approx 6173.91 \)zł.

 

Policzenie średniej korzystając z częstości \( \omega_{i} \)

W jednym kroku policzymy częstości korzystając ze wzoru \( \omega_{i} = \frac{n_{i}}{n} \) oraz \( \overline{X}_{i} \cdot \omega_{i} \):

Wartość \( X_{i} \)Ilość \( n_{i} \)Częstość \( \omega_{i} \)\( \overline{X}_{i} \)\( \overline{X}_{i} \cdot \omega_{i} \)
1000-30002 \( \frac{2}{23} \)2000\( \frac{2}{23} \cdot 2000 \approx 173.91 \)
3000-50003\( \frac{3}{23} \)4000521.74
5000-700010\( \frac{10}{23} \)60002608.70
7000-90007\( \frac{7}{23} \)80002434.78
9000-110001\( \frac{1}{23} \)10000434.78
\( \sum \overline{X}_{i} \cdot \omega_{i} = 6173.91 \)

\( \overline{X} =6173.91\), czyli otrzymaliśmy ten sam wynik.

Uwaga: wynik mógł różnić się nieznacznie co wynika z faktu, że wyliczając \( \overline{X}_{i} \cdot \omega_{i} \) zaokrąglaliśmy wyniki cząstkowe do drugiego miejsca po przecinku.