Średnia - szereg przedziałowy

Średnią w szeregu przedziałowym będziemy liczyć podobnie jak średnią w szeregu rozdzielczym z jednym wyjątkiem. Szereg rozdzielczy zawieraj konkretne wartości, a szereg przedziałowy przedziały.

Załóżmy, że mamy przedział 1000-3000zł. Jakiej wartości się spodziewamy?

Najbardziej intuicyjna jest odpowiedź, że spodziewamy się wartości koło środka, czyli 2000zł. I taka będzie różnica we wzorze, że zamiast brać wartość  X_{i} będziemy brali
 \overline{X}_{i} = \dfrac{X_{p}+X_{k}}{2}, gdzie  X_{p} - początek przedziału,  X_{k} - koniec przedziału.

Średnią w szeregu przedziałowym można wyliczyć na 2 sposoby: korzystając z ilości  n_{i} lub z częstości  \omega_{i}

Definicja:

 \Large \overline{X} = \dfrac{1}{n} \sum \overline{X}_{i} \cdot n_{i}

lub

 \Large \overline{X}= \sum \overline{X}_{i} \cdot \omega_{i}

n - ilość obserwacji
 n_{i} - ilość obserwacji w i-tym punkcie
 \omega_{i} - częstość obserwacji w i-tym punkcie
 \overline{X}_{i} - środek i-tego przedziału

 

Przykład:

W tabeli zostały przedstawione zarobki w firmie informatycznej. Oblicz na 2 sposoby średnią:

Wartość  X_{i} Ilość  n_{i}
1000-30002
3000-50003
5000-700010
7000-90007
9000-110001

Ilość obserwacji n = 23.

Najpierw dla każdego przedziału policzymy wartość środkową  \overline{X}_{i} :

Wartość  X_{i} Ilość  n_{i} Wartość środkowa  \overline{X}_{i}
1000-30002 \dfrac{1000+3000}{2} = 2000
3000-500034000
5000-7000106000
7000-900078000
9000-11000110000

 

Policzenie średniej korzystając z ilości  n_{i}

Teraz policzymy  \overline{X}_{i} \cdot n_{i} :

Wartość  X_{i} Ilość  n_{i} Wartość środkowa  \overline{X}_{i}  \overline{X}_{i} \cdot n_{i}
1000-300022000 2 \cdot 2000 = 4000
3000-50003400012000
5000-700010600060000
7000-90007800056000
9000-1100011000010000
 \sum \overline{X}_{i} \cdot n_{i} = 142000

Teraz możemy skorzystać ze wzoru tzn.

 \overline{X} = \dfrac{1}{n} \sum \overline{X}_{i} \cdot n_{i} =  \dfrac{1}{23} \cdot 142000 \approx 6173.91 zł.

 

Policzenie średniej korzystając z częstości  \omega_{i}

W jednym kroku policzymy częstości korzystając ze wzoru  \omega_{i} = \dfrac{n_{i}}{n} oraz  \overline{X}_{i} \cdot \omega_{i} :

Wartość  X_{i} Ilość  n_{i} Częstość  \omega_{i}  \overline{X}_{i}  \overline{X}_{i} \cdot \omega_{i}
1000-30002  \dfrac{2}{23} 2000 \dfrac{2}{23} \cdot 2000 \approx 173.91
3000-50003 \dfrac{3}{23} 4000521.74
5000-700010 \dfrac{10}{23} 60002608.70
7000-90007 \dfrac{7}{23} 80002434.78
9000-110001 \dfrac{1}{23} 10000434.78
 \sum \overline{X}_{i} \cdot \omega_{i} = 6173.91

 \overline{X} =6173.91, czyli otrzymaliśmy ten sam wynik.

Uwaga: wynik mógł różnić się nieznacznie co wynika z faktu, że wyliczając  \overline{X}_{i} \cdot \omega_{i} zaokrąglaliśmy wyniki cząstkowe do drugiego miejsca po przecinku.