Rozkład Poissona

Rozkład Poissona jest rozkładem dyskretnym (skokowym), który wyraża prawdopodobieństwo zdarzeń następujących po sobie z daną częstotliwością  \alpha (ilość zdarzeń na jednostkę czasową) w danym czasie. Zdarzenia zachodzą niezależnie, tzn. że czas następnego zdarzenia nie zależy od tego kiedy wystąpiło poprzednie zdarzenie.

 

Przykład

Rozważmy taki przykład: obserwujemy pewien przystanek autobusowy i stwierdzamy, że średnio autobusy przyjeżdżają z częstotliwością \lambda = 4 autobusy na godzinę. Zdarza się jednak, że autobus nie przyjedzie- ulegnie wypadkowi - lub się spóźni. Wtedy może okazać się, że w jedną godzinę przyjadą 3 autobusy, a w następną 5. Jednak średnio w każdą godzinę będziemy obserwować 4 autobusy na tym przystanku. Zmienna opisująca kiedy przyjedzie autobus jest właśnie zmienną z rozkładu Poissona o intensywności \lambda = 4.

 

Definicja

Niech X będzie zmienną z rozkładu Poissona o intensywności \lambda co zapisujemy  X \sim Poiss(\lambda) . Wtedy gęstość rozkładu(prawdopodobieństwo, że zajdzie dokładnie k zdarzeń), wyraża się wzorem:

 \large f(k, \lambda) = P( X = k ) = \dfrac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!} dla k = 0, 1, 2, ...

 

Warto zauważyć, że k może być dowolnie duże lecz z powodu k! w mianowniku dla dużego k prawdopodobieństwo /(P(X = k) /) będzie bardzo małe.

 

Podstawowe własności rozkładu Poissona:

  •  \lambda > 0- skoro lambda opisuje intensywność to musi być liczbą dodatnią
  •  k= 0,1,2, \dots - ilość zdarzeń nie może być ujemna i do tego musi być liczbą całkowitą
  • Wartość oczekiwana  EX = \lambda
  • Wariancja  VarX = \lambda
  • Dominanta( Moda ) jest równa największej liczbie całkowitej mniejszej od  \lambda , np. dla  \lambda = 2.7 dominanta wynosi 2.
  • Prawo zdarzeń rzadkich- wyjaśnione w osobny wpisie
  • Dla dużego  \lambda rozkład Poissona można przybliżyć rozkładem normalnym o średniej i wariancji równych  \lambda , czyli dla
     X \sim Poiss(\lambda) oraz dla dużego  \lambda mamy  X \sim N(\lambda, \lambda)
  • Mediana wynosi około  \Large Me \approx \lambda + \frac{1}{3} + \frac{0.02}{\lambda}
  • Skośność wynosi  \Large \sqrt{\lambda}
  • Kurtoza wynosi  \Large \frac{1}{\lambda}
  • Suma zmienny z rozkładu Poissona jest rozkładem Poissona o intensywności równej sumie intensywności zmiennych, czyli X \sim Poiss(\lambda_{1}) ,  Y \sim Poiss(\lambda_{2}) to  X + Y \sim Poiss(\lambda_{1} +\lambda_{2} )

 

Przykład:

Ilość wypadków w pewnej firmie w ciągu miesiąca można opisać rozkładem Poissona z intensywnością  \lambda = 3.2 . Oblicz:

  1. Prawdopodobieństwo, że w ciągu miesiąca zajdą 2 zdarzenia
  2. Prawdopodobieństwo, że w ciągu roku zajdą 24 zdarzenia
  3. Prawdopodobieństwo, że ilość zdarzeń w ciągu miesiąca wyniesie mniej niż 3

 

Ad1) Musimy obliczyć prawdopodobieństwo, że P( X = 2 ). Może to obliczyć bezpośrednio ze wzoru, tzn.

 \Large P( X = 2 ) = \dfrac{ 3.2^{2} e^{-3.2} }{2!} \approx 0.209

Ad2) Znamy intensywność dla jednego miesiąca,a ponieważ możemy założyć, że rok składa się z 12tu miesięcy to chcąc uzyskać intensywność dla jednego roku wystarczy miesięczną intensywność pomnożyć przez 12, czyli

 \Large \lambda_{rok} = 12 \cdot \lambda_{mies} = 38.4

Teraz możemy już przejść do obliczenia prawdopodobieństwa

 \Large P( X_{rok} = 24 ) = \dfrac{38.4^{24} e^{-38.4}}{24!} \approx 0.0036

Ad3) Mamy obliczyć prawdopodobieństwo, że P(X < 3)

Ponieważ rozkład Poissona jest określony tylko dla liczb całkowitych dodatnich i zera to nasze prawdopodobieństwo wyliczymy w następujący sposób:

 \Large P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

Teraz wyliczając kolejno składniki otrzymujemy:

 \Large P(X = 0) = \dfrac{3.2^{0} e^{-3.2}}{0!} \approx 0.041

Przypominam, że 0! = 1

 \Large P(X = 1) = \dfrac{3.2^{1} e^{-3.2}}{1!} \approx 0.130

 \Large P(X = 2) = \dfrac{3.2^{2} e^{-3.2}}{2!} \approx 0.209

sumując powyższe składniki otrzymujemy

 P(X < 3) = 0.38

One comment:

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.