Rozkład Poissona

\(\)

Rozkład Poissona jest rozkładem dyskretnym (skokowym), który wyraża prawdopodobieństwo zdarzeń następujących po sobie z daną częstotliwością \( \alpha \) (ilość zdarzeń na jednostkę czasową) w danym czasie. Zdarzenia zachodzą niezależnie, tzn. że czas następnego zdarzenia nie zależy od tego kiedy wystąpiło poprzednie zdarzenie.

Przykład
Rozważmy taki przykład: obserwujemy pewien przystanek autobusowy i stwierdzamy, że średnio autobusy przyjeżdżają z częstotliwością \( \lambda = 4\) autobusy na godzinę. Zdarza się jednak, że autobus nie przyjedzie- ulegnie wypadkowi – lub się spóźni. Wtedy może okazać się, że w jedną godzinę przyjadą 3 autobusy, a w następną 5. Jednak średnio w każdą godzinę będziemy obserwować 4 autobusy na tym przystanku. Zmienna opisująca kiedy przyjedzie autobus jest właśnie zmienną z rozkładu Poissona o intensywności \( \lambda = 4\).

Definicja
Niech X będzie zmienną z rozkładu Poissona o intensywności \( \lambda \) co zapisujemy \( X \sim Poiss(\lambda) \). Wtedy gęstość rozkładu(prawdopodobieństwo, że zajdzie dokładnie k zdarzeń), wyraża się wzorem:

\( f(k, \lambda) = P( X = k ) = \frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!} \) dla k = 0, 1, 2, …

Warto zauważyć, że k może być dowolnie duże lecz z powodu k! w mianowniku dla dużego k prawdopodobieństwo P(X = k) będzie bardzo małe.

Podstawowe własności rozkładu Poissona:

  • \( \lambda > 0\)- skoro lambda opisuje intensywność to musi być liczbą dodatnią
  • \( k= 0,1,2, \dots \) – ilość zdarzeń nie może być ujemna i do tego musi być liczbą całkowitą
  • Wartość oczekiwana \( EX = \lambda \)
  • Wariancja \( VarX = \lambda\)
  • Dominanta( Moda ) jest równa największej liczbie całkowitej mniejszej od \( \lambda \), np. dla \( \lambda = 2.7\) dominanta wynosi 2.
  • Prawo zdarzeń rzadkich- wyjaśnione w osobny wpisie
  • Dla dużego \( \lambda \) rozkład Poissona można przybliżyć rozkładem normalnym o średniej i wariancji równych \( \lambda \), czyli dla
    \( X \sim Poiss(\lambda) \) oraz dla dużego \( \lambda \) mamy \( X \sim N(\lambda, \lambda) \)
  • Mediana wynosi około \( Me \approx \lambda + \frac{1}{3} + \frac{0.02}{\lambda} \)
  • Skośność wynosi \( \sqrt{\lambda} \)
  • Kurtoza wynosi \( \frac{1}{\lambda} \)
  • Suma zmienny z rozkładu Poissona jest rozkładem Poissona o intensywności równej sumie intensywności zmiennych, czyli\( X \sim Poiss(\lambda_{1}) \) , \( Y \sim Poiss(\lambda_{2}) \) to \( X + Y \sim Poiss( \lambda_{1} + \lambda_{2} ) \)

Przykład 1:
Ilość wypadków w pewnej firmie w ciągu miesiąca można opisać rozkładem Poissona z intensywnością \( \lambda = 3.2 \). Oblicz:

  1. Prawdopodobieństwo, że w ciągu miesiąca zajdą 2 zdarzenia
  2. Prawdopodobieństwo, że w ciągu roku zajdą 24 zdarzenia
  3. Prawdopodobieństwo, że ilość zdarzeń w ciągu miesiąca wyniesie mniej niż 3

Dalsza część treści jest płatna. Dokonaj zakupu lub zaloguj się

Zaloguj się lub Wykup
Sprawdź Wykup
Anuluj
7dniowy dostęp do Poissona, 10zł
30dniowy abonament, 29zł
90dniowy abonament, 49zł
Odblokuj dostęp do treści związanych z rozkładem Poissona: zadania dotyczące rozkładu Poissona oraz zdarzeń rzadkich. Odblokuj dostep
Odblokuj dostęp do wszystkich treści na 30 dni. Odblokuj dostep
Odblokuj dostęp do wszystkich treści na 90 dni. Odblokuj dostep
Anuluj

One comment:

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.