Rozkład normalny- wprowadzenie

Rozkład normalny, zwany również rozkładem Gaussa lub krzywą Gaussa, jest najważniejszym rozkładem statystycznym. Rozkład normalny jest też bardzo intuicyjny: większość obserwacji jest skupiona wokoło średniej, obserwacje leżące dalej od średniej występują rzadziej.

Przykład:
Przeanalizujmy wzrost mężczyzn w Polsce. W/g danych z 2001 roku średni wzrost mężczyzn wynosi 177.4 cm. Większość obserwacji jest skupiona wokół tej wartości, tzn. że większość mężczyzn ma wzrost między 150cm a 200cm. Oczywiście zdarzają się mężczyźni o wzroście poniżej 150cm lub powyżej 200cm ale występują one stosunkowo rzadko- by się o tym przekonać wystarczy przejść się ulicą i sprawdzić jak często pojawią się mężczyźni ze wzrostem poniżej 150cm lub powyżej 200cm.

Rozkład normalny   \large N(\mu, \sigma) :
Rozkład normalny ma 2 parametry:
 \mu oznacza wartość oczekiwaną, czyli średnią. Czasem zamiast  \mu używa się literkę m.
 \large \sigma oznacza odchylenie standardowe- im większe odchylenie standardowe tym częściej występują obserwacje bardziej oddalone od średniej.

Krzywa Gaussa:
Krzywa Gaussa jest krzywą prezentującą rozkład
prawdopodobieństwa rozkładu  \large N(\mu, \sigma) :

Krzywa Gaussa, Rozkład Gaussa, Rozkład NormalnyW okolicy wartości średniej(w odległości  \large \sigma ) znajduje się 68% obserwacji. W celu szczegółowej analizy wykresu polecam wejść w temat Reguła (3 sigma ).

Ważniejsze własności rozkładu normalnego:

1.  X \sim N(\mu, \sigma) oraz a, b  \in \mathbb{R} oraz \large b > 0 wtedy  a+ bX \sim N(a + \mu, b \sigma)

2. Jeżeli  X_{1} \sim N(\mu_{1}, \sigma_{1}) ,  X_{2} \sim N(\mu_{2},\sigma_{2}) to  X_{1}+X_{2} \sim N(\mu_{1} + \mu_{2}, \sqrt{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}})

3.  X \sim N(\mu, \sigma) to  \overline{X} \sim N( \mu, \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} )

4. Jeżeli  X_{i} \sim N(0,1)   to  \sum X_{i}^{2} jest z rozkładu Chi kwadrat z n-stopniami swobody - Chi2(n) - ten wniosek przyda nam się przy Teście Zgodności

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.