Rozkład normalny- wprowadzenie

Rozkład normalny, zwany również rozkładem Gaussa lub krzywą Gaussa, jest najważniejszym rozkładem statystycznym. Rozkład normalny jest też bardzo intuicyjny: większość obserwacji jest skupiona wokoło średniej, obserwacje leżące dalej od średniej występują rzadziej.

Przykład: \(\)
Przeanalizujmy wzrost mężczyzn w Polsce. W/g danych z 2001 roku średni wzrost mężczyzn wynosi 177.4 cm. Większość obserwacji jest skupiona wokół tej wartości, tzn. że większość mężczyzn ma wzrost między 150cm a 200cm. Oczywiście zdarzają się mężczyźni o wzroście poniżej 150cm lub powyżej 200cm ale występują one stosunkowo rzadko- by się o tym przekonać wystarczy przejść się ulicą i sprawdzić jak często pojawią się mężczyźni ze wzrostem poniżej 150cm lub powyżej 200cm.

Rozkład normalny  \( \large N(\mu, \sigma) \):
Rozkład normalny ma 2 parametry:
\( \mu \) oznacza wartość oczekiwaną, czyli średnią. Czasem zamiast \( \mu \) używa się literkę m.
\( \large \sigma \) oznacza odchylenie standardowe- im większe odchylenie standardowe tym częściej występują obserwacje bardziej oddalone od średniej.

Krzywa Gaussa:
Krzywa Gaussa jest krzywą prezentującą rozkład
prawdopodobieństwa rozkładu \( \large N(\mu, \sigma) \):

Krzywa Gaussa, Rozkład Gaussa, Rozkład NormalnyW okolicy wartości średniej(w odległości \( \large \sigma \)) znajduje się 68% obserwacji. W celu szczegółowej analizy wykresu polecam wejść w temat Reguła (3 sigma ).

Ważniejsze własności rozkładu normalnego:

1. \( X \sim N(\mu, \sigma) \) oraz a, b \( \in \mathbb{R} \) oraz \(\large b > 0 \) wtedy \( a+ bX \sim N(a + \mu, b \sigma) \)

2. Jeżeli \( X_{1} \sim N(\mu_{1}, \sigma_{1}) \), \( X_{2} \sim N(\mu_{2},\sigma_{2}) \) to \( X_{1}+X_{2} \sim N(\mu_{1} + \mu_{2}, \sqrt{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}}) \)

3. \( X \sim N(\mu, \sigma) \) to \( \overline{X} \sim N( \mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}} ) \)

4. Jeżeli \( X_{i} \sim N(0,1) \)  to \( \sum X_{i}^{2} \) jest z rozkładu Chi kwadrat z n-stopniami swobody – Chi2(n) – ten wniosek przyda nam się przy Teście Zgodności

Zobacz również:
Zadania rozkład normalny
Centralne Twierdzenie Graniczne