Rozkład dwumianowy

Rozkład dwumianowy (w Polsce nazywany również rozkładem Bernouliego) to rozkład prawdopodobieństwa opisujący liczbę sukcesów k w n próbach przy stałym prawdopodobieństwie sukcesu p. Prawdopodobieństwo wyliczamy na podstawie wzoru: \(\)

\( P(X_{n} = k) = {n\choose k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k} \)

gdzie \({n\choose k} = \frac{n!}{(n-k)! \cdot k!}\)
\( k! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot … \cdot k \)

Interpretacja wzoru:

Załóżmy, że mamy n – zdarzeń takich, że pierwszych k – prób to sukcesy, a pozostałe (czyli n – k) próby to porażki. Prawdopodobieństwo takiego zdarzenia wynosi \( p^{k} \cdot (1-p)^{n-k} \).
W powyższym przypadku założyliśmy określony układ sukcesów i porażek jednak licząc prawdopodobieństwo k – sukcesów w n-próbach sukcesy i porażki mogą się dowolnie przeplatać (tak aby wyszło k sukcesów i n-k porażek) dlatego uzyskane prawdopodobieństwo (które jest takie samo dla każdej kombinacji k sukcesów i n-k porażek) musimy przemnożyć przez ilość kombinacji k sukcesów i n-k porażek. Do tego służy symbol Newtona \( {n\choose k} \), który oznacza liczbę możliwości wylosowania k sukcesów z
n prób, czyli dokładnie to o co nam chodziło.

Podstawowe własności rozkładu dwumianowego:

  • Wartość oczekiwana \( EX = np \)
    Przykład: prawd. wyrzucenia reszki wynosi 0.5.
    Rzucając 10 razy spodziewamy się 10 x 0.5 = 5 reszek
  • Wariancja \( VarX = np(1-p) \)
    Ze wzoru wynika, że największa wariancja jest dla p = 0.5.
    Dodatkowo wariancja dla p = 0.5 – y oraz dla p = 0.5 + y jest taka sama
    co oznacza, że wariancja jest symetryczna względem p = 0.5.
    Wynika to z faktu, że we wzorze na wariancję mamy zarówno p – prawd. sukcesu jak i (1-p) – prawd. porażki. Łatwo to sprawdzić np. dla p = 0.25 i p = 0.75 (w obu przypadkach otrzymamy \(0.1875 \cdot n \) )
  • Prawo zdarzeń rzadkich- wyjaśnione w tym wpisie

 

Zadanie 1
W pewnej fabryce produkuje się 2 gatunki danego produktu: 40% produkcji to wyrób I gatunku, natomiast pozostała część to wyrób II gatunku. Odbiorca planuje zakupić 5 losowych produktów. Oblicz prawdopodobieństwo, że:

  1. Dokładnie 2 produkty będą z I gatunku
  2. Co najmniej 2 produkty będą z I gatunku
  3. jakiej średniej liczby wyrobów I gatunku może spodziewać się odbiorca jeśli zakupi 200 sztuk wyrobów?

Dalsza część treści jest płatna. Dokonaj zakupu lub zaloguj się

Możesz sprawdzić również regulamin
Zaloguj się lub Wykup
Sprawdź Wykup
Anuluj
7dniowy dostęp do rozkładów Poissona i dwumianowego, 15zł
30dniowy abonament, 29zł
90dniowy abonament, 49zł
Odblokuj dostęp do treści związanych z rozkładami Poissona (zadania dotyczące rozkładu Poissona oraz zdarzeń rzadkich) oraz dwumianowego Odblokuj dostep
Odblokuj dostęp do wszystkich treści na 30 dni. Odblokuj dostep
Odblokuj dostęp do wszystkich treści na 90 dni. Odblokuj dostep
Anuluj