Regresja liniowa/prosta

Regresja liniowa(zwana również regresją prostą) służy do oszacowania wartości Y gdy dysponujemy wartościami X, wtedy Y nazywa się zmienną objaśnianą, a X zmienną objaśniającą. O ile współczynnik korelacji liniowej mówi nam jak bardzo dane są od siebie zależne o tyle regresja liniowa mówi nam jak bardzo zmieni się Y gdy zmienimy X:

Definicja:

Regresja liniowa przedstawia się wzorem

 y = a \cdot x + b

a - współczynnik kierunkowy prostej regresji
b - wyraz wolny prostej regresji

gdzie

 \Large a = \dfrac{\sum ( X_{i}- \overline{X} ) \cdot( Y_{i}- \overline{Y} ) }{\sum ( X_{i}- \overline{X} )^{2}} = \dfrac{cov(X,Y)}{\sigma^{2}_{x}} = r_{xy} \cdot \dfrac{\sigma_{y}}{\sigma_{x}}

 \Large b = \overline{Y} - a \cdot \overline{X}

 X_{i} ,  Y_{i} wartości zmiennych X i Y

 \overline{X} ,  \overline{Y} - średnie zmiennych X i Y

 cov(X,Y) - kowariancja zmiennych X i Y

 \Large \sigma_{x} ,  \Large \sigma_{y} - odchylenia standardowe zmiennych X i Y

 \Large r_{xy} - współczynnik korelacji między X i Y

 

Przykład:

Zbadano zależność między długością serii produkcyjnej a jednostkowym kosztem produkcji i otrzymano następujące dane. Oblicz funkcję regresji liniowej:

DŁUGOŚĆ SERII X (SZT.)8090100100110120
KOSZT JEDNOSTKOWY Y (ZŁ.)12910986

 

Część miar została wyliczona w temacie: "wspolczynnik-korelacji-liniowej-Pearsona":

 \large r_{xy} = -0.92

 \overline{X} = 100

 \overline{Y} = 9

 \large \sigma_{x} = 12.91

 \large \sigma_{y} = 1.82

 

Korzystając z powyższych miar:

 a = r_{xy} \cdot \dfrac{\sigma_{y}}{\sigma_{x}} = -0.92 \cdot \dfrac{1.82}{12.91} \approx -0.13

oraz

 b = \overline{Y} - a \cdot \overline{X} = 9 - (- 0.13) \cdot 100 = 9 + 13 = 22

Regresja liniowa przedstawia się wzorem:

Y = -0.13X + 22

Co oznacza, że gdy długość serii (X) wzrośnie o 1 to cena jednostkowa spadnie o 0.13zł .

 

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.