Przedział ufności dla średniej

\(\)

Przedział ufności dla średniej pozwala nam oszacować prawdopodobny przedział, w którym znajduje się średnia danego rozkładu normalnego, przy czy wariancja rozkładu może być znana lub nie znana.

Warto zapamiętać jedną rzecz wyliczając przedział ufności dla średniej: w większości przypadków wyliczając wartość dystrybuanty korzystamy z rozkładu normalnego. Jedynym wyjątkiem jest sytuacja gdy ilość obserwacji n < 30 oraz wariancja populacji \( \sigma^{2} \) jest nieznana.

Kiedy wariancja populacji jest nieznana?

Kiedy musimy ją wyliczyć sami lub została ona wyliczona na podstawie danych. Jeżeli w zadaniu jest napisane, że wariancja została oszacowana/wyestymowana na podstawie danych to wariancja dotyczy konkretnej próbki, a nie całej populacji. Jeżeli w zadaniu jest mowa o wariancji populacji to najczęściej jest to napisane, że dane pochodzą z rozkładu normalnego o wariancji \( \sigma^{2} \). Często gdy wariancja jest wyliczona na podstawie danych zamiast pisać \( \sigma^{2} \) używa się \( s^{2} \).

Definicja:

Nieznane \( \sigma^{2} \) i \( n < 30 \):

\( m \in ( \overline{X} – t_{\alpha,n-1} \frac{\sigma}{\sqrt{n-1}} , \overline{X} + t_{\alpha,n-1} \frac{\sigma}{\sqrt{n-1}} ) \)

W pozostałych przypadkach, tzn. \( \sigma^{2} \) znane albo nieznane ale \( n \geq 30 \):

\( m \in ( \overline{X} – u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} , \overline{X} + u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} ) \)

\( \overline{X} \) – średnia

\( \sigma^{2} \) – wariancja populacji lub wariancji wyliczona na podstawie danych

n – liczebność próby

\( u_{\frac{\alpha}{2}} \) – dystrybuanta rozkładu normalnego dla \( \frac{\alpha}{2} \)

\( t_{\frac{\alpha}{2},n-1} \) – dystrybuanta rozkładu t-studenta dla \( \frac{\alpha}{2} \) i n-1 stopni swobody

\( 1-\alpha \) – poziom istotności

Przykład:

W 25- elementowej próbie prostej, złożonej z drzew losowo wybranych z lasu, otrzymano: \( \overline{X} = 37.3\) cm oraz \( s^{2} =13.5 cm^{2}\). Zakładamy, że rozkład średnicy drzew w tym lesie jest w przybliżeniu normalny. Wyznaczyć 98%-ową realizację przedziału ufności dla przeciętnej liczby drzew w tym lesie.

Zwróćmy uwagę na to, że n < 30 a wariancja została otrzymana(wyliczona) z próby 25 elementowej, czyli skorzystamy z dystrybuanty rozkładu t-studenta.

\( 1 – \alpha = 0.98 \)
\( \alpha = 0.02 \)

Teraz odczytujemy z tablicy rozkładu t-studenta wartość dla \( \large t_{0.02, 24} =2.492\).

Teraz wystarczy podstawić do wzoru, czyli

\( ( 37.3 – 2.492\cdot \frac{\sqrt{13.5}}{\sqrt{24}}, 37.3 + 2.492\cdot \frac{\sqrt{13.5}}{\sqrt{24}} ) \)

\( ( 37.3 – 1.869, 37.3 + 1.869 ) = ( 35.431 , 39.169 ) \)

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.