Przedział ufności dla średniej

Przedział ufności dla średniej pozwala nam oszacować prawdopodobny przedział, w którym znajduje się średnia danego rozkładu normalnego, przy czy wariancja rozkładu może być znana lub nie znana.

 

Warto zapamiętać jedną rzecz wyliczając przedział ufności dla średniej: w większości przypadków wyliczając wartość dystrybuanty korzystamy z rozkładu normalnego. Jedynym wyjątkiem jest sytuacja gdy ilość obserwacji n < 30 oraz wariancja populacji  \sigma^{2} jest nieznana.

 

Kiedy wariancja populacji jest nieznana?

Kiedy musimy ją wyliczyć sami lub została ona wyliczona na podstawie danych. Jeżeli w zadaniu jest napisane, że wariancja została oszacowana/wyestymowana na podstawie danych to wariancja dotyczy konkretnej próbki, a nie całej populacji. Jeżeli w zadaniu jest mowa o wariancji populacji to najczęściej jest to napisane, że dane pochodzą z rozkładu normalnego o wariancji  \sigma^{2} . Często gdy wariancja jest wyliczona na podstawie danych zamiast pisać  \sigma^{2} używa się  s^{2} .

 

Definicja:

Nieznane  \sigma^{2} i  n < 30 :

 \Large m \in ( \overline{X} - t_{\alpha,n-1} \dfrac{\sigma}{\sqrt{n-1}} , \overline{X} + t_{\alpha,n-1} \dfrac{\sigma}{\sqrt{n-1}} )

 

W pozostałych przypadkach, tzn.  \sigma^{2} znane albo nieznane ale  n \geq 30 :

 \Large m \in ( \overline{X} - u_{\frac{\alpha}{2}} \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} , \overline{X} + u_{\frac{\alpha}{2}} \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} )

 

 \overline{X} - średnia

 \sigma^{2} - wariancja populacji lub wariancji wyliczona na podstawie danych

n - liczebność próby

 \Large u_{\frac{\alpha}{2}} - dystrybuanta rozkładu normalnego dla  \frac{\alpha}{2}

 \Large t_{\frac{\alpha}{2},n-1} - dystrybuanta rozkładu t-studenta dla  \frac{\alpha}{2} i n-1 stopni swobody

 1-\alpha - poziom istotności

 

Przykład:

W 25- elementowej próbie prostej, złożonej z drzew losowo wybranych z lasu, otrzymano:  \overline{X} = 37.3 cm oraz  s^{2} =13.5 cm^{2}. Zakładamy, że rozkład średnicy drzew w tym lesie jest w przybliżeniu normalny. Wyznaczyć 98%-ową realizację przedziału ufności dla przeciętnej liczby drzew w tym lesie.

 

Zwróćmy uwagę na to, że n < 30 a wariancja została otrzymana(wyliczona) z próby 25 elementowej, czyli skorzystamy z dystrybuanty rozkładu t-studenta.

 1 - \alpha = 0.98
 \alpha = 0.02

Teraz odczytujemy z tablicy rozkładu t-studenta wartość dla  \large t_{0.02, 24} =2.492.

Teraz wystarczy podstawić do wzoru, czyli

 \large( 37.3 - 2.492\cdot \frac{\sqrt{13.5}}{\sqrt{24}},37.3 + 2.492\cdot \frac{\sqrt{13.5}}{\sqrt{24}} )

 \large( 37.3 - 1.869, 37.3 + 1.869 ) = ( 35.431 , 39.169 )

 

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.