Przedział ufności dla frakcji/odsetka

\(\)

Przedział ufności dla frakcji/odsetka pozwala na oszacowanie prawdopodobnego przedziału, w którym znajduje się szacowana przez nas frakcja(odsetek), czyli procent populacji, które spełnia zadany warunek, np. odsetkiem może być procent osób głosujących na daną partię lub odsetek osób, które ważą powyżej 100kg.

Przy szacowaniu przedziału ufności dla odsetka zakładamy, że obserwacje pochodzą z rozkładu normalnego.

Definicja:

\( p \in (\frac{m}{n} – u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\sqrt{\frac{m}{n}\cdot(1-\frac{m}{n})}}{\sqrt{n}},\frac{m}{n} + u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\sqrt{\frac{m}{n}\cdot(1-\frac{m}{n})}}{\sqrt{n}} ) \)

gdzie m- ilość zdarzeń sprzyjających, n- ilość wszystkich zdarzeń

\( u_{\frac{\alpha}{2}} \)- dystrybuanta rozkładu normalnego na poziomie \( \large \frac{\alpha}{2} \)

Czyli do wyliczenia przedziału ufności dla frakcji potrzebujemy tylko procent zdarzeń sprzyjających \( \frac{m}{n} \), poziom ufności \( 1- \alpha \) oraz liczebność próby.

Przykład:

W grupie 3600 losowo wybranych pasażerów warszawskiego metra 1584 osoby stwierdziły, że metro jest dla nich jedynym środkiem dojazdu do pracy. Wyznacz 90%- realizację przedziału ufności dla odsetka osób, dla których metro jest jedynym środkiem dojazdu do pracy.

m = 1584, n = 3600, \( 1 – \alpha = 0.9\)

\( \frac{m}{n} = \frac{1584}{3600} = 0.44 \)

\( u_{\frac{\alpha}{2}} = 1.64 \)

Teraz wystarczy podstawić do wzoru i otrzymujemy:

\( p \in ( 0.44 – 1.64 \cdot \frac{ \sqrt{ 0.44 \cdot (1-0.44) } }{ \sqrt{3600} } , 0.44 + 1.64 \cdot \frac{ \sqrt{ 0.44 \cdot (1-0.44) } }{ \sqrt{3600} } ) \)

\( p \in ( 0.44 – 1.64\cdot \frac{ 0.5 }{ 60 } , 0.44 + 1.64\cdot \frac{ 0.5 }{ 60 } ) \)

\( p \in ( 0.44 – 0.014 , 0.44 + 0.014 ) \) = \( ( 0.426 , 0.454 ) \)

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.