Prawo zdarzeń rzadkich

Rozkład Poissona, przy pewnych założeniach , może posłużyć jako aproksymacja (przybliżenie) rozkładu dwumianowego. Tzn. dla dostatecznie dużej próby ( co najmniej n = 20) oraz małym prawdopodobieństwie zajścia danego zdarzenia (  p \leq 0.05 ) zamiast rozkładu dwumianowego możemy użyć rozkład Poissona.

 

Definicja

Dla n> 20 i  p \leq 0.05 rozkład dwumianowy możemy przybliżyć rozkładem Poissona o intensywności  \lambda = n \cdot p , co zapiszemy:

 X \sim B( n,p ) \sim Poiss( n \cdot p ) dla n> 20 i  p \leq 0.05

 

 

Sprawdźmy na przykładzie jakie korzyści wynikają z takiego przybliżenia

Przykład:

W pewnym zakładzie produkcyjnym 1 na 1000 samochodów posiada wadliwą instalację hamulcową. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 10 tyś. samochodów będzie dokładnie 10 zepsutych?

n = 10 000, p = 0.001

Korzystając z rozkładu dwumianowego wynik byłby następujący

 \large P(X = 10) = \binom{1000}{10} 0.001^{10} 0.999^{990}

Jest to praktycznie nie do wyliczenia bez pomocy komputera.

 

Korzystając z rozkładu Poissona (oba założenia są spełnione) wynik byłby następujący

 \lambda = 10 000 \cdot 0.001 = 10

 \large P(X = 10) = \dfrac{10^{10} e^{-10}}{10!} co jest już prostsze do wyliczenia i daje

 \Large P(X = 10) \approx 0.125

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.