Mediana

Co to jest mediana?

Mediana (wartość przeciętna lub 2 kwartyl) – miara centralna leżąca dokładnie w środku uszeregowanych obserwacji, tzn.  50% obserwacji leży na lewo od niej i 50% leży na prawo od niej. \(\)

Co możemy zapisać następująco:

\( P(X \leq Me) \geq 0.5 \) oraz \( P(X \geq Me) \geq 0.5 \)

gdzie Me to wartość mediany

Wzory na medianę:

Najczęściej wykorzystywany wzór na medianę to:

\( Me = \begin{cases} \frac{1}{2}(X_{\frac{n}{2}} + X_{\frac{n}{2}+1}) , & n\mbox{ – parzyste} \\ X_{\frac{n+1}{2}}, & n\mbox{ – nieparzyste} \end{cases} \)

Mediana w szeregu przedziałowym

\( \large Me = X_{Me}+ \frac{ \frac{n}{2} – n_{Me sk – 1} }{n_{Me}} \cdot h_{Me} \)

\( \large Me = X_{Me}+ \frac{ 0.5 – \omega_{Me sk – 1} }{\omega_{Me}} \cdot h_{Me} \)

\( X_{Me} \) – lewy koniec przedziału z Medianą

\( n_{Me} \) – liczebność przedziału z Medianą

\( \omega_{Me} \) – częstość przedziału z Medianą

\( n_{Me sk-1} \) – liczebność skumulowana przedziału przed przedziałem z Medianą (suma obserwacji we wszystkich przedziałów przed przedziałem z medianą)

\( \omega_{Me sk-1} \) – częstość skumulowana przedziału przed przedziałem z Medianą (suma częstości we wszystkich przedziałów przed przedziałem z medianą)

\( h_{Me} \) – długość przedziału z Medianą

Jak wyznaczyć przedział z medianą?

Dla szeregu ilościowego:

Liczymy liczebność skumulowaną \( n_{isk} \) dla każdego przedziału. Mediana znajduje się w pierwszym przedziale, dla którego \( \frac{n}{2} \leq n_{isk} \)

Dla szeregu częstości:

Liczymy częstość skumulowaną \( \omega_{isk} \) dla każdego przedziału. Mediana znajduje się w pierwszym przedziale, dla którego \( 0.5 \leq \omega_{isk} \)

Przykład:

\( X_{i} \) 1-44-77-1010-13
\( n_{i} \)102058

\( n = 10 + 20 + 5 + 8 = 43 \)

\( \frac{43}{2} = 21.5 \)

Policzmy liczebność skumulowaną \( n_{isk} \)

\( X_{i} \) 1-44-77-1010-13
\( n_{i} \)102058
\( n_{isk} \)1010 + 20 = 3010 + 20 + 5 = 3510 + 20 + 5 + 8= 43

30 jest pierwszym \( n_{isk} \) dla którego \( 21.5 \leq n_{isk}\)

Mediana znajduje się w przedziale 4-7.

Ważna uwaga dotycząca mediany:

Przed znalezieniem mediany należy uszeregować rosnąco obserwacje bo tylko wtedy będziemy mogli poprawnie wyznaczyć medianę.

Zobacz również:

Graficzne przedstawienie mediany Porównanie mediany, średniej i dominanty

Jak obliczyć medianę przykład

Oblicz medianę dla obserwacji: 1, 2, 3, 2, 3, 6

Najpierw uporządkujemy obserwacje: 1, 2, 2, 3, 3, 6.

Mamy n=6 obserwacji. n jest parzyste więc skorzystamy ze wzoru:

\( Me = \frac{1}{2}(X_{\frac{n}{2}} + X_{\frac{n}{2}+1}) \)

\( X_{\frac{n}{2}} = X_{3} = 2\)

\( X_{\frac{n}{2} +1} = X_{4} = 3 \)

\( Me = \frac{1}{2}(X_{\frac{n}{2}} + X_{\frac{n}{2}+1}) = \frac{1}{2}(2+3) = 2.5\)

Odp: Mediana z obserwacji wynosi 2.5.

Gdzie wykorzystywana jest mediana?

Mediana jest często wykorzystywana przy analizie rozkładów. Zaletą jest większa odporność na obserwacje odstające niż w przypadku średniej. Więcej można poczytać tutaj.

Mediana zarobków

Powyższą różnicę można zaobserwować licząc medianę i średnią miesięcznych zarobków w Polsce, tj. średnia wynosi około 4800 brutto natomiast mediana wynosi około 2800 brutto. Co oznacza, że w rozkładzie zarobków Polaków są Polacy, którzy zarabiają bardzo dużo przez co średnia jest zawyżona względem mediany.

Wartość mediany oznacza również, że 50% Polaków zarabia co najwyżej 2800zł brutto oraz 50% Polaków zarabia co najmniej 2800zł brutto.

Zadania na medianę

Zadanie 1

Oblicz medianę dla podanych danych: 1, 4, 6, 7, 5, 9, 7, 7, 8

Dalsza część treści jest płatna. Dokonaj zakupu lub zaloguj się

Regulamin dostępny tutaj
Zaloguj się lub Wykup
Sprawdź Wykup
Anuluj
30dniowy abonament, 69zł
Dostęp na 6 miesięcy, 79zł
30 dni, wszystkie treści + automatyczne rozwiązywanie zadań, 119zł
Dostęp na 6 miesięcy, wszystkie treści + automatyczne rozwiązywanie zadań, 129zł
Odblokuj dostęp do wszystkich treści na 30 dni.
Sprawdź
Odblokuj dostepDokonując zamówienia potwierdzasz zapoznanie się z regulaminem
Odblokuj dostęp do wszystkich treści na 6 miesięcy
Sprawdź
Odblokuj dostepDokonując zamówienia potwierdzasz zapoznanie się z regulaminem
Odblokuj dostęp do treści + automatycznego rozwiązywania zadań na 30 dni
Sprawdź
Odblokuj dostepDokonując zamówienia potwierdzasz zapoznanie się z regulaminem
Odblokuj dostęp do treści + automatycznego rozwiązywania zadań na 6 miesięcy
Sprawdź
Odblokuj dostepDokonując zamówienia potwierdzasz zapoznanie się z regulaminem
Anuluj

Zadanie 2

Określ medianę wśród ocen uczniów ze sprawdzianu z fizyki: 3, 4, 2, 3, 2, 3, 5, 3, 6, 2, 1, 2.

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 3

Określ medianę wśród danych: 1.5 , 2.5, 6 , 3 , 4

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 4

Oceny z klasówki zostały przedstawione w poniższej tabeli:

Ocena12345
Liczba uczniów251087

Oblicz medianę. Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 5:

Rozkład pewnej cechy jest dany w poniższej tabeli. Oblicz medianę.

Wartość \( X_{i} \)123456
Ilość \( n_{i} \)144111

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 6:

W tabeli zostały przedstawione zarobki w firmie informatycznej. Oblicz medianę:

Wartość \( X_{i} \) (w tys. zł)1-33-55-77-99-11
Ilość \( n_{i} \)231071

Treść dostępna po zalogowaniu

Zadanie 7:

W tabeli zostały przedstawione zarobki w firmie. Oblicz medianę:

Przedział zarobków (w tys. zł)1-33-55-77-99-11
% pracowników\( \frac{2}{23} \)\( \frac{3}{23} \)\( \frac{10}{23} \)\( \frac{7}{23} \)\( \frac{1}{23} \)

Treść dostępna po zalogowaniu

Komentarze:

  1. Mediana leży zawsze w środku, czyli jej pozycja wynosi albo n/2 dla szeregu ilościowego, albo 0.5 dla szeregu częstościowego. 0.5 oznacza dokładnie połowę przedziału, czyli ma taką samą interpretację jak n/2.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.