Mediana- szereg rozdzielczy

Mediana w szeregu rozdzielczym wyraża się tym samym wzorem tylko znajdowanie kolejnych elementów wygląda trochę inaczej, dla przypomnienia:

Definicja:

W posortowanych obserwacjach mediana wyraża się wzorem:

 \Large f(n) = \begin{cases} \frac{1}{2}(X_{\frac{n}{2}} + X_{\frac{n}{2}+1}) , & n\mbox{ - parzyste} \\ X_{\frac{n+1}{2}}, & n\mbox{ - nieparzyste} \end{cases}

 

Przykład:

Weźmy ten sam przykład co przed chwilą ale zapiszmy dane w postaci szeregu rozdzielczego:

Wartość  X_{i} Ilość  n_{i}
11
24
34
41
51
61
n = 12

Abyśmy mogli łatwo znaleźć informację dot. elementu na konkretnej pozycji stworzymy dodatkową kolumnę ilość skumulowanej.

Ilość skumulowana  n_{isk} - oznacza ilość obserwacji o wartości  X_{i} lub mniejszej, tak jakby ile obserwacji ma tą wartość lub mniejszą:

Wartość  X_{i} Ilość  n_{i} Ilośc skumulowana  n_{isk} Wyjaśnienie zasady tworzenia kolumny  n_{isk}
111 n_{1}
241+4 = 5 n_{1sk} + n_{2}
344+5 = 9 n_{2sk} + n_{3}
411 + 9 = 10 n_{3sk} + n_{4}
511 + 10 = 11 n_{4sk} + n_{5}
611 + 11 = 12 n_{5sk} + n_{6}
n = 12

Uwaga: wyliczając np  n_{4sk} mogliśmy zsumować  n_{i} dla i od 1 do 4 ale zamiast tego zrobiliśmy  n_{3sk} + n_{4} , bo jest szybciej a przecież  n_{3sk} + n_{4} to też suma  n_{i} dla i od 1 do 4.

Interesuje nas 6-ty i 7-my element, patrz przykład wcześniej, więc patrzymy jaka pierwsza liczba  n_{isk} przekracza lub dorównuje 6 i 7.

Wartość  X_{i} Ilość  n_{i} Ilośc skumulowana  n_{isk}  
111
241+4 = 5
344+5 = 99 jako pierwsze jest większe od 6 i 7.
Więc X_{6} i  X_{7} = 3
411 + 9 = 10
511 + 10 = 11
611 + 11 = 12
n = 12

Korzystając teraz ze wzoru na medianę dla n- parzystego:
 Me = \frac{1}{2} \cdot ( 3 + 3 ) = 3

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.