Mediana- szereg rozdzielczy

Mediana w szeregu rozdzielczym wyraża się tym samym wzorem tylko znajdowanie kolejnych elementów wygląda trochę inaczej, dla przypomnienia:

Definicja:

W posortowanych obserwacjach mediana wyraża się wzorem:

\( \Large f(n) = \begin{cases} \frac{1}{2}(X_{\frac{n}{2}} + X_{\frac{n}{2}+1}) , & n\mbox{ – parzyste} \\ X_{\frac{n+1}{2}}, & n\mbox{ – nieparzyste} \end{cases} \)

 

Przykład:

Weźmy ten sam przykład co przed chwilą ale zapiszmy dane w postaci szeregu rozdzielczego:

Wartość \( X_{i} \)Ilość \( n_{i} \)
11
24
34
41
51
61
n = 12

Abyśmy mogli łatwo znaleźć informację dot. elementu na konkretnej pozycji stworzymy dodatkową kolumnę ilość skumulowanej.

Ilość skumulowana \( n_{isk} \)- oznacza ilość obserwacji o wartości \( X_{i} \) lub mniejszej, tak jakby ile obserwacji ma tą wartość lub mniejszą:

Wartość \( X_{i} \)Ilość \( n_{i} \)Ilośc skumulowana \( n_{isk} \)Wyjaśnienie zasady tworzenia kolumny \( n_{isk} \)
111\( n_{1} \)
241+4 = 5\( n_{1sk} + n_{2} \)
344+5 = 9\( n_{2sk} + n_{3} \)
411 + 9 = 10\( n_{3sk} + n_{4} \)
511 + 10 = 11\( n_{4sk} + n_{5} \)
611 + 11 = 12\( n_{5sk} + n_{6} \)
n = 12

Uwaga: wyliczając np \( n_{4sk} \) mogliśmy zsumować \( n_{i} \) dla \(i\) od 1 do 4 ale zamiast tego zrobiliśmy \( n_{3sk} + n_{4} \), bo jest szybciej a przecież \( n_{3sk} + n_{4} \) to też suma \( n_{i} \) dla \(i\) od 1 do 4.

Interesuje nas 6-ty i 7-my element, patrz przykład wcześniej, więc patrzymy jaka pierwsza liczba \( n_{isk} \) przekracza lub dorównuje 6 i 7.

Wartość \( X_{i} \)Ilość \( n_{i} \)Ilośc skumulowana \( n_{isk} \) 
111
241+4 = 5
344+5 = 99 jako pierwsze jest większe od 6 i 7.
Więc \(X_{6} \) i \( X_{7} \) = 3
411 + 9 = 10
511 + 10 = 11
611 + 11 = 12
n = 12

Korzystając teraz ze wzoru na medianę dla n- parzystego:
\( Me = \frac{1}{2} \cdot ( 3 + 3 ) = 3 \)

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.