Mediana - szereg przedziałowy

W szeregu przedziałowym sytuacja jest troszkę bardziej skomplikowana, ponieważ mamy przedziały a nie konkretne wartości ale pewne analogie są podobne, tzn. w szeregu przedziałowym mediana występuje w przedziale który zawiera środkową obserwację- dlatego w szeregu przedziałowym będziemy również potrzebować ilość skumulowaną.

Medianę w szeregu przedziałowym można wyliczyć na 2 sposoby: korzystając z ilości  n_{i} lub z częstości  \omega_{i}

Definicja:

 \Large Me = X_{Me}+ \dfrac{ poz.Me - n_{Me sk - 1} }{n_{Me}} \cdot h_{Me}

lub

 \Large Me = X_{Me}+ \dfrac{ poz.Me - \omega_{Me sk - 1} }{\omega_{Me}} \cdot h_{Me}

poz.Me- pozycja mediany definiowana jako  \frac{n}{2} gdy mamy podane ilości lub 0.5 gdy mamy podane częstości

 x_{Me} - lewy koniec przedziału z Medianą

 n_{Me} - liczebność przedziału z Medianą

 n_{Me sk-1} - liczebność skumulowana przedziału przed przedziałem z Medianą

 \omega_{Me} - częstość przedziału z Medianą

 \omega_{Me sk-1} - częstość skumulowana przedziału przed przedziałem z Medianą

 h_{Me} - długość przedziału z Medianą

 

Przykład:

W tabeli zostały przedstawione zarobki w firmie informatycznej. Oblicz na 2 sposoby Medianę:

Wartość  X_{i} Ilość  n_{i}
1000-30002
3000-50003
5000-700010
7000-90007
9000-110001

 

Policzenie mediany korzystając z ilości  n_{i} :

Teraz skonstruujemy ilość skumulowaną  n_{isk} :

Wartość  X_{i} Ilość  n_{i} Ilość skumulowana  n_{isk}
1000-300022
3000-500032+3 = 5
5000-7000105 + 10 = 15
7000-900077 + 15 = 22
9000-1100011 + 22 = 23

Teraz określamy pozycję mediany: n= 23, więc poz.Me =  \frac{23}{2} = 11.5

Aby sprawdzić do jakiego przedziału należy Mediana szukamy która ilość skumulowana jako pierwsza dobija/przekracza 11.5 . Widzimy że dzieje się to na poziomie zarobków: 5000-7000zł.

Wartość  X_{i} Ilość  n_{i} Ilość skumulowana  n_{isk}  
1000-300022
3000-500032+3 = 5
5000-7000105 + 10 = 1515 jako pierwsze dobija/przekracza 12 więc to w tym przedziale będzie mediana
7000-900077 + 15 = 22
9000-1100011 + 22 = 23

 

Odpowiednie zmienne wynoszą:

poz.Me = 11.5

 x_{Me} =5000 zł - lewy koniec przedziału z Medianą

 n_{Me} = 10 - liczebność przedziału z Medianą

 n_{Me sk-1} = 5 - liczebność skumulowana przedziału przed przedziałem z Medianą

 h_{Me} = 7000-5000 = 2000 - długość przedziału z Medianą

Dla pewnej przejrzystości zaznaczmy jeszcze z którego wiersza czytamy określone informacje:

Wartość  X_{i} Ilość  n_{i} Ilość skumulowana  n_{isk}  
1000-300022
3000-500035 n_{Mesk - 1}
5000-70001015 x_{Me} ,  n_{Me} ,  h_{Me}
7000-9000722
9000-11000123

Teraz już możemy przejść do obliczenia mediany w szeregu przedziałowym gdy mamy podane ilości:

 Me = X_{Me}+ \dfrac{ poz.Me - n_{Me sk - 1} }{n_{Me}} \cdot h_{Me}

 Me = 5000 + \dfrac{ 11.5 - 5 }{10} \cdot 2000 =  5000 + \dfrac{6.5}{10} \cdot 2000

 Me = 5000+ 1300 = 6300

 

Policzenie mediany korzystając z częstości  \omega_{i} :

Policzmy teraz częstości zgodnie ze wzorem  \omega_{i} = \frac{n_{i}}{n} . Od razu policzmy częstości skumulowane  \omega_{isk} , które mają podobną interpretację co liczebność skumulowana, tzn.
Częstość skumulowana  \omega_{isk} - oznacza częstość obserwacji o wartości X_{i} lub mniejszej, tak jakby jak często pojawiają się obserwacje o tej wartości lub mniejszej.

Wartość  X_{i} Ilość  n_{i} Częstość  \omega_{isk} Częstość skumulowana  \omega_{isk} Wyjaśnienie zasady tworzenia kolumny  \omega_{isk}  
1000-30002  \dfrac{2}{23}  \dfrac{2}{23}  \omega_{1}
3000-50003 \dfrac{3}{23}  \dfrac{5}{23}  \omega_{1 sk} + \omega_{2}
5000-700010 \dfrac{10}{23}  \dfrac{15}{23}  \omega_{2 sk} + \omega_{3}  \dfrac{15}{23} jako pierwsze przekracza 0.5 i to w tym przedziale znajduje się mediana
7000-90007 \dfrac{7}{23}  \dfrac{22}{23}  \omega_{3 sk} + \omega_{4}
9000-110001 \dfrac{1}{23} 1 \omega_{4 sk} + \omega_{5}

Uwaga: wyliczając np  \omega_{4sk} mogliśmy zsumować  \omega_{i} dla i od 1 do 4 ale zamiast tego zrobiliśmy  \omega_{3sk} + \omega_{4} , bo jest szybciej a przecież  \omega_{3sk} +\omega_{4} to też suma  \omega_{i} dla i od 1 do 4.

 

Odpowiednie zmienne wynoszą:

poz.Me = 0.5

 X_{Me} = 5000 - lewy koniec przedziału z Medianą

 \omega_{Me} = \frac{10}{23} - częstość przedziału z Medianą

 \omega_{Me sk-1} = \frac{5}{23} - częstość skumulowana przedziału przed przedziałem z Medianą

 h_{Me} = 7000-5000 = 2000 - długość przedziału z Medianą

 

Wartości dla częstości są brane z tych samych wierszy co dla ilości- w końcu ilość jest ściśle powiązane z częstością.

Teraz już możemy przejść do obliczenia mediany w szeregu przedziałowym gdy mamy podane częstości:

 Me = X_{Me}+ \dfrac{ poz.Me - \omega_{Me sk - 1} }{\omega_{Me}} \cdot h_{Me}

 Me = 5000 + \dfrac{0.5 - \frac{5}{23}}{\frac{10}{23}} \cdot 2000 =  5000 + \dfrac{11.5 - 5}{10} \cdot 2000 =  6300

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.