Mediana – szereg przedziałowy

W szeregu przedziałowym sytuacja jest troszkę bardziej skomplikowana, ponieważ mamy przedziały a nie konkretne wartości ale pewne analogie są podobne, tzn. w szeregu przedziałowym mediana występuje w przedziale który zawiera środkową obserwację– dlatego w szeregu przedziałowym będziemy również potrzebować ilość skumulowaną.

Medianę w szeregu przedziałowym można wyliczyć na 2 sposoby: korzystając z ilości \( n_{i} \) lub z częstości \( \omega_{i} \)

Definicja:

\( \Large Me = X_{Me}+ \dfrac{ poz.Me – n_{Me sk – 1} }{n_{Me}} \cdot h_{Me} \)

lub

\( \Large Me = X_{Me}+ \dfrac{ poz.Me – \omega_{Me sk – 1} }{\omega_{Me}} \cdot h_{Me} \)

poz.Me- pozycja mediany definiowana jako \( \frac{n}{2} \) gdy mamy podane ilości lub 0.5 gdy mamy podane częstości

\( x_{Me} \) – lewy koniec przedziału z Medianą

\( n_{Me} \) – liczebność przedziału z Medianą

\( n_{Me sk-1} \) – liczebność skumulowana przedziału przed przedziałem z Medianą

\( \omega_{Me} \) – częstość przedziału z Medianą

\( \omega_{Me sk-1} \) – częstość skumulowana przedziału przed przedziałem z Medianą

\( h_{Me} \) – długość przedziału z Medianą

 

Przykład:

W tabeli zostały przedstawione zarobki w firmie informatycznej. Oblicz na 2 sposoby Medianę:

Wartość \( X_{i} \)Ilość \( n_{i} \)
1000-30002
3000-50003
5000-700010
7000-90007
9000-110001

 

Policzenie mediany korzystając z ilości \( n_{i} \):

Teraz skonstruujemy ilość skumulowaną \( n_{isk} \):

Wartość \( X_{i} \)Ilość \( n_{i} \)Ilość skumulowana \( n_{isk} \)
1000-300022
3000-500032+3 = 5
5000-7000105 + 10 = 15
7000-900077 + 15 = 22
9000-1100011 + 22 = 23

Teraz określamy pozycję mediany: n= 23, więc poz.Me = \( \frac{23}{2} = 11.5 \)

Aby sprawdzić do jakiego przedziału należy Mediana szukamy która ilość skumulowana jako pierwsza dobija/przekracza 11.5 . Widzimy że dzieje się to na poziomie zarobków: 5000-7000zł.

Wartość \( X_{i} \)Ilość \( n_{i} \)Ilość skumulowana \( n_{isk} \) 
1000-300022
3000-500032+3 = 5
5000-7000105 + 10 = 1515 jako pierwsze dobija/przekracza 12 więc to w tym przedziale będzie mediana
7000-900077 + 15 = 22
9000-1100011 + 22 = 23

 

Odpowiednie zmienne wynoszą:

poz.Me = 11.5

\( x_{Me} =5000 \)zł – lewy koniec przedziału z Medianą

\( n_{Me} = 10 \) – liczebność przedziału z Medianą

\( n_{Me sk-1} = 5 \) – liczebność skumulowana przedziału przed przedziałem z Medianą

\( h_{Me} = 7000-5000 = 2000 \) – długość przedziału z Medianą

Dla pewnej przejrzystości zaznaczmy jeszcze z którego wiersza czytamy określone informacje:

Wartość \( X_{i} \)Ilość \( n_{i} \)Ilość skumulowana \( n_{isk} \) 
1000-300022
3000-500035\( n_{Mesk - 1} \)
5000-70001015\( x_{Me} \) , \( n_{Me} \), \( h_{Me} \)
7000-9000722
9000-11000123

Teraz już możemy przejść do obliczenia mediany w szeregu przedziałowym gdy mamy podane ilości:

\( Me = X_{Me}+ \dfrac{ poz.Me – n_{Me sk – 1} }{n_{Me}} \cdot h_{Me} \)

\( Me = 5000 + \dfrac{ 11.5 – 5 }{10} \cdot 2000 \) = \( 5000 + \dfrac{6.5}{10} \cdot 2000 \)

\( Me = 5000+ 1300 = 6300 \)

 

Policzenie mediany korzystając z częstości \( \omega_{i} \):

Policzmy teraz częstości zgodnie ze wzorem \( \omega_{i} = \frac{n_{i}}{n} \). Od razu policzmy częstości skumulowane \( \omega_{isk} \), które mają podobną interpretację co liczebność skumulowana, tzn.
Częstość skumulowana \( \omega_{isk} \) – oznacza częstość obserwacji o wartości X_{i} lub mniejszej, tak jakby jak często pojawiają się obserwacje o tej wartości lub mniejszej.

Wartość \( X_{i} \)Ilość \( n_{i} \)Częstość \( \omega_{isk} \)Częstość skumulowana \( \omega_{isk} \)Wyjaśnienie zasady tworzenia kolumny \( \omega_{isk} \) 
1000-30002 \( \dfrac{2}{23} \)\( \dfrac{2}{23} \)\( \omega_{1} \)
3000-50003\( \dfrac{3}{23} \)\( \dfrac{5}{23} \)\( \omega_{1 sk} + \omega_{2} \)
5000-700010\( \dfrac{10}{23} \)\( \dfrac{15}{23} \)\( \omega_{2 sk} + \omega_{3} \)\( \dfrac{15}{23} \) jako pierwsze przekracza 0.5 i to w tym przedziale znajduje się mediana
7000-90007\( \dfrac{7}{23} \) \( \dfrac{22}{23} \)\( \omega_{3 sk} + \omega_{4} \)
9000-110001\( \dfrac{1}{23} \)1\( \omega_{4 sk} + \omega_{5} \)

Uwaga: wyliczając np \( \omega_{4sk} \) mogliśmy zsumować \( \omega_{i} \) dla \(i\) od 1 do 4 ale zamiast tego zrobiliśmy \( \omega_{3sk} + \omega_{4} \), bo jest szybciej a przecież \( \omega_{3sk} +\omega_{4} \) to też suma \( \omega_{i} \) dla \(i\) od 1 do 4.

 

Odpowiednie zmienne wynoszą:

poz.Me = 0.5

\( X_{Me} = 5000 \) – lewy koniec przedziału z Medianą

\( \omega_{Me} = \frac{10}{23} \) – częstość przedziału z Medianą

\( \omega_{Me sk-1} = \frac{5}{23}\) – częstość skumulowana przedziału przed przedziałem z Medianą

\( h_{Me} = 7000-5000 = 2000 \) – długość przedziału z Medianą

 

Wartości dla częstości są brane z tych samych wierszy co dla ilości– w końcu ilość jest ściśle powiązane z częstością.

Teraz już możemy przejść do obliczenia mediany w szeregu przedziałowym gdy mamy podane częstości:

\( Me = X_{Me}+ \dfrac{ poz.Me – \omega_{Me sk – 1} }{\omega_{Me}} \cdot h_{Me} \)

\( Me = 5000 + \dfrac{0.5 – \frac{5}{23}}{\frac{10}{23}} \cdot 2000 \) = \( 5000 + \dfrac{11.5 – 5}{10} \cdot 2000 \) = \( 6300 \)

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.