Dystrybuanta - wprowadzenie

Czasem nie interesuje nas konkretne zdarzenie, a grupa zdarzeń, np. nie interesuje nas, jaka jest szansa, że na zakupach wydamy dokładnie 200zł, ale będzie nas interesowało jaka jest szansa, że wydamy mniej niż 200zł, inaczej byśmy weszli na debet a tego nie chcemy. Do wyliczenia takiego prawdopodobieństwa posłużmy się dystrybuantą, czyli prawdopodobieństwem, że zajdzie zdarzenie nie większe od ustalonej wartości (w powyższym przykładzie od 200zł).

Definicja
 F_{X}(t) - Dystrybuanta
rozkładu X w punkcie t to prawdopodobieństwo, że zajdzie zdarzenie mniejsze bądź równe t, tzn.

 F_{X}(t) = P( X \leq t )

Dystrybuanta rozkładu normalnego
Na czerwono została zaznaczona wartość dystrybuanty w punkcie t

Podstawowe własności dystrybuanty:

  •  F_{X}(t) \in [0,1] - dystrybuanta przyjmuje wartości z przedziału [0,1]. Jest to prosty fakt, wynikający z tego, że najmniejszą szansą na zajście zdarzenia jest 0 (0% - zdarzenie w ogóle nie zajdzie), a największą 1 (100% że zdarzenie zajdzie).
  •  F_{X}(t) - jest funkcją nie malejącą, czyli jeżeli weźmiemy 2 punkty  t_{1} i  t_{2} to jeżeli  t_{1} < t_{2} to  F_{X}(t_{1}) \leq F_{X}(t_{2})
    Przykład: Prawdopodobieństwo, że wydamy nie więcej niż 300zł jest większe niż tego, że wydamy nie więcej niż 200zł.
  •  F_{X}(t) - prawostronnie ciągła, czyli jeżeli na wykresie wystąpi nieciągłość typu skok, to otwarta kropka będzie należeć do linii po lewej stronie, a zamalowana po prawej stronie
  •  \lim \limits_{t \to - \infty} F_{X}(t) = 0
  • \lim \limits_{t \to \infty} F_{X}(t) = 1

 

11 comments:

  1. świetnie wytłumaczone, nareszcie załapałam o co chodzi, dzięki !!!

  2. Jasno i zrozumiale, dziękuję za objaśnienie , świetna robota . Czytałem opis w Wikipedii ale tam opis był tylko częsciowo zrozumiały

  3. obrazek niestety wprowadza w błąd...
    podobno dystybuanta jest funkcją nie malejącą, czyli rosnącą lub stałą, a co widzimy na obrazku? Od pewnego momentu jest malejąca.

  4. Na rysunku czarna linia oznacza rozkład prawdopodobieństwa i to może maleć. Natomiast dystrybuanta to pole pod wykresem, które zostało zaznaczone na czerwono. I wtedy wszystko się zgadza: zwiększając x, zwiększamy czerwone pole, czyli wartość dystrybuanty, czyli jest ona niemalejąca.

  5. Z ciekawości, skoro dystrybuanta jest w gruncie rzeczy polem pod wykresem, to czy można by użyć całeczki?

  6. Zgadza się. Dokładnie tak się matematycznie definiuje dystrybuantę, tj. jako całkę z prawdopodobieństwa od - nieskończoności do t.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.