Dominanta/Modalna – szereg przedziałowy

W szeregu przedziałowym sytuacja jest troszkę bardziej skomplikowana, ponieważ mamy przedziały a nie konkretne wartości ale pewne analogie są podobne, tzn. w szeregu przedziałowym dominanta występuje w najliczniejszym przedziale. Jeżeli 2 przedziały są najliczniejsze to nie możemy określić dominanty.


Jest jeszcze jedno ważne obostrzenie: przedziały muszą być tej samej długości!

Dominantę w szeregu przedziałowym można wyliczyć na 2 sposoby: korzystając z ilości \( n_{i} \)  lub z częstości \( \omega_{i} \)

Definicja:

\( \Large D = x_{D} + \dfrac{ n_{D}-n_{D-1} }{ (n_{D}-n_{D+1})+ ( n_{D}-n_{D-1} ) } \cdot h_{D} \)

lub

\( \Large D = x_{D} + \dfrac{ \omega_{D}-\omega_{D-1} }{ (\omega_{D}-\omega_{D+1})+ ( \omega_{D}-\omega_{D-1} ) } \cdot h_{D} \)

\( x_{D} \) – lewy koniec przedziału z Dominantą

\( n_{D} \) – liczebność przedziału z Dominantą

\( n_{D-1} \) – liczebność przedziału przed przedziałem z Dominantą

\( n_{D+1} \) – liczebność przedziału po przedziale z Dominantą

\( \omega_{D} \) =  częstość w przedziale z dominantą

\( \omega_{D+1} \) =  częstość w przedziale następnym

\( \omega_{D+1} \) =  częstość w przedziale poprzednim

\( h_{D} \) – długość przedziału z Dominantą

 

Przykład:

W tabeli zostały przedstawione zarobki w firmie informatycznej. Oblicz na 2 sposoby dominantę Dominantę:

Wartość \( X_{i} \)Ilość \( n_{i} \)
1000-30002
3000-50003
5000-700010
7000-90007
9000-110001

Najwięcej obserwacji zawiera przedział 5000-7000 więc to w tym przedziale będzie dominanta.

 

Policzenie dominanty korzystając z ilości \( n_{i} \):

Korzystając z tabelki możemy odczytać interesujące nas wartości:

\( n_{D} = 10 \) ilość obserwacji w przedziale z dominantą

\( n_{D+1} = 7 \) ilość obserwacji w przedziale następnym

\( n_{D-1} = 3 \) ilość obserwacji w przedziale poprzednim

\( x_{D} = 5000 \) lewy koniec przedziału z dominantą

\( h)_{D} = 7000 – 5000 = 2000 \) długość przedziału z dominantą

Dla pewnej przejrzystości zaznaczmy jeszcze z którego wiersza czytamy określone informacje

Wartość \( X_{i} \)Ilość \( n_{i} \) 
1000-30002
3000-50003\( n_{D-1} \)
5000-700010\( n_{D} \) , \( x_{D} \), \( h_{D} \)
7000-90007\( n_{D+1} \)
9000-110001

Teraz już możemy przejść do obliczenia dominanty w szeregu przedziałowym gdy mamy podane ilości:

\( D = x_{D} + \dfrac{ n_{D}-n_{D-1} }{ (n_{D}-n_{D+1})+ ( n_{D}-n_{D-1} ) } \cdot h_{D} \)

\( D = 5000 + \dfrac{ 10-3 }{ (10 – 7 )+ ( 10 – 3 ) } \cdot 2000 \)

\( D = 5000 + \dfrac{ 7 }{ 3+ 7 } \cdot 2000 \) = \( 5000 + \dfrac{ 7 }{ 10 } \cdot 2000 \)

\( D = 5000 + 1400 = 6400\)

 

Policzenie dominanty korzystając z częstości \( \omega_{i} \):

Najpierw musimy wyliczyć częstości zgodnie ze wzorem \( \omega_{i} = \dfrac{n_{i}}{n} \).

Wartość \( X_{i} \)Ilość \( n_{i} \)Częstość \( \omega_{i} \)
1000-30002\( \dfrac{2}{23} \)
3000-50003\( \dfrac{3}{23} \)
5000-700010\( \dfrac{10}{23} \)
7000-90007\( \dfrac{7}{23} \)
9000-110001\( \dfrac{1}{23} \)
\( \sum \omega_{i} = 1 \)

Pamiętajmy zawsze sprawdzić czy częstość sumuje się do jedynki!

 

Korzystając z tabelki możemy odczytać interesujące nas wartości:

\( \omega_{D} \) = \( \dfrac{10}{23} \) częstość w przedziale z dominantą

\( \omega_{D+1} = \dfrac{7}{23} \) częstość w przedziale następnym

\( \omega_{D+1} = \dfrac{3}{23} \) częstość w przedziale poprzednim

\( x_{D} = 5000 \) lewy koniec przedziału z dominantą

\( h)_{D} = 7000 – 5000 = 2000 \) długość przedziału z dominantą

Teraz już możemy przejść do obliczenia dominanty w szeregu przedziałowym gdy mamy podane częstości:

\( D = x_{D} + \dfrac{ \omega_{D}-\omega_{D-1} }{ (\omega_{D}-\omega_{D+1})+ ( \omega_{D}-\omega_{D-1} ) } \cdot h_{D} \)

\( D = 5000 + \dfrac{ \dfrac{10}{23}-\dfrac{3}{23} }{ (\dfrac{10}{23}-\dfrac{7}{23})+(\dfrac{10}{23}-\dfrac{3}{23}) } \cdot 2000 \)

\( D = 5000 + \dfrac{\dfrac{7}{23}}{\dfrac{10}{23}} \cdot 2000 \) = \( 5000 + \dfrac{ 7 }{ 10 } \cdot 2000 \)

\( D = 5000 + 1400 = 6400\)

 

Słówko o warunku tej samej długości przedziałów:

Istnieje wzór na wartość dominanty w szeregu przedziałowym gdy mamy różnej długości przedziały, ale jest on zazwyczaj pomijany przez prowadzących i wystarczy napisać, że przedziały nie są równej długości.

Na wiele przypadków tylko raz mój uczeń miał napisany wzór na dominantę gdy przedziały są różnej długości więc postanowiłem nie umieszczać tutaj tego wzoru. Zrobię to w innym poście.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.