Centralne Twierdzenie Graniczne

Centralne Twierdzenie Graniczne(CTG) jest jednym z najważniejszych twierdzeń w statystyce. Uzasadnia ono powszechność występowania rozkładów zbliżonych do rozkładu normalnego.

Jeżeli ktoś Cię zapyta dlaczego rozkład normalny jest taki ważny to odpowiedzią jest Centralne Twierdzenie Graniczne.

Centralne Twierdzenie Graniczne:

Jeżeli mamy zmienne  X_{i} - i.i.d. (czyli są niezależne o jednakowym rozkładzie) o takich samych wartościach oczekiwanych (średniej)  \mu oraz wariancji  \sigma^{2} (dodatkowo zakładamy że wariancja jest skończona \sigma^{2} < \infty ) wtedy zmienna:

 \dfrac{\sum\limits_{i=1}^nX_{i} - n \cdot \mu }{\sqrt{n}\cdot \sigma} \xrightarrow[n \to \infty]{d} N(0,1)

d nad strzałką oznacza, że zbieżność jest względem rozkładu, tzn. że nie poszczególne wartości do siebie dążą a rozkłady. Czyli im n większe tym \large \frac{\sum\limits_{i=1}^n X_{i} - n \cdot \mu }{\sqrt{n}\cdot \sigma} przypomina bardziej rozkład N(0,1).

Można to również zapisać, że rozkład  \overline{X} \sim N(\mu, \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}) i w tym znaczenie używa się CTG najczęściej.

Nie oznacza to jednak, że dla dużego n X zmienia w rozkład normalny. Rozkład X jest zawsze taki jak początkowy, zmienia się jedynie rozkład  \overline{X} .

Słowo o skończonej wariancji  \sigma^{2} :

Warunek dotyczący skończoności wariancji jest bardzo ważny i formułując twierdzenie nie możemy o nim zapomnieć. Co prawda nie musimy się zbytnio martwić o to założenie wariancja powinna być podana lub łatwa do wyliczenia- dodatkowo na kursach statystyki opisowej nie spotyka się rozkładów o nieskończonej wariancji.

Przykład:
Na podstawie dancyh dotyczących zarobków w pewnej firmie wyliczono, że
 \mu = 2000 oraz  \sigma = 400 . Oblicz prawdopodobieństwo, że 30 losowo wybranych pracowników zarabia więcej niż 68 000zł.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.