Centralne Twierdzenie Graniczne

Centralne Twierdzenie Graniczne(CTG) jest jednym z najważniejszych twierdzeń w statystyce. Uzasadnia ono powszechność występowania rozkładów zbliżonych do rozkładu normalnego.

Jeżeli ktoś Cię zapyta dlaczego rozkład normalny jest taki ważny to odpowiedzią jest Centralne Twierdzenie Graniczne.

Centralne Twierdzenie Graniczne: \(\)

Jeżeli mamy zmienne \( X_{i} \) – i.i.d. (czyli są niezależne o jednakowym rozkładzie) o takich samych wartościach oczekiwanych (średniej) \( \mu \) oraz wariancji \( \sigma^{2} \) (dodatkowo zakładamy że wariancja jest skończona \(\sigma^{2} < \infty \) ) wtedy zmienna:

\( \lim_{x\to 0} \frac{\sum\limits_{i=1}^nX_{i} – n \cdot \mu }{\sqrt{n}\cdot \sigma} \stackrel{d}= N(0,1) \)

d nad znakiem równości oznacza, że zbieżność jest względem rozkładu, tzn. że nie poszczególne wartości do siebie dążą a rozkłady.
Czyli im n większe tym \(\frac{\sum\limits_{i=1}^n X_{i} – n \cdot \mu }{\sqrt{n}\cdot \sigma} \) przypomina bardziej rozkład N(0,1).

Można to również zapisać, że rozkład \( \overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}) \) i w tym znaczenie używa się CTG najczęściej.

Nie oznacza to jednak, że dla dużego n X zmienia w rozkład normalny. Rozkład X jest zawsze taki jak początkowy, zmienia się jedynie rozkład \( \overline{X} \).

Słowo o skończonej wariancji \( \sigma^{2} \):

Warunek dotyczący skończoności wariancji jest bardzo ważny i formułując twierdzenie nie możemy o nim zapomnieć. Co prawda nie musimy się zbytnio martwić o to założenie wariancja powinna być podana lub łatwa do wyliczenia- dodatkowo na kursach statystyki opisowej nie spotyka się rozkładów o nieskończonej wariancji.

Przykład:
Na podstawie dancyh dotyczących zarobków w pewnej firmie wyliczono, że
\( \mu = 2000 \) oraz \( \sigma = 400 \). Oblicz prawdopodobieństwo, że 30 losowo wybranych pracowników zarabia więcej niż 68 000zł.

Dalsza część treści jest płatna. Dokonaj zakupu lub zaloguj się

Zaloguj się lub Wykup
Sprawdź Wykup
Anuluj
7dniowy dostęp do Rozkładu Normalnego, 10zł
30dniowy abonament, 29zł
90dniowy abonament, 49zł
Odblokuj dostęp do treści związanych z rozkładem normalnym Odblokuj dostep
Odblokuj dostęp do wszystkich treści na 30 dni. Odblokuj dostep
Odblokuj dostęp do wszystkich treści na 90 dni. Odblokuj dostep
Anuluj

 

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.