Całkowanie przez części

Całkowanie przez części jest jednym z dwóch najważniejszych sposobów rozwiązywania całek.

Jeżeli mamy funkcje f(x) i g(x), które mają ciągłe pochodne to:

\( \int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) – \int f'(x)g(x)dx \)

Całkowanie przez części stosuje się w sytuacji gdy zróżniczkowanie jeden z czynników sprawi, że całka stanie się możliwa do wyliczenia.
Zobaczmy to na przykładzie:

\( \int x \sin x dx \)

Mamy tutaj 2 funkcje: \( x \) oraz  \( \sin x \)
Zwróćmy uwagę, że \( x’ = 1 \) więc przyjmując f(x) = x w całce po lewej stronie (tej ze składnikiem f'(x) ) zostanie tylko człon g(x), który będzie prostszy do scałkowania.

Skoro \( f(x) = x \), to \( g'(x) = \sin x \)

Potrzebujemy jeszcze wyliczyć g(x):

\( g(x) = \int g'(x) dx = \int \sin x = -\cos x + C \)

Mając wszystko możemy zapisać równanie:
\( \int x \sin x dx = x \cdot (-\cos x + C) – \int 1 \cdot(-\cos x + C)dx = -x \cos x + Cx +\int \cos x – \int C dx = -x \cos x + Cx + \sin x + D – Cx + D = -x\cos x + \sin x + 2D = -x\cos x + \sin x + D\)

Uwaga: ponieważ stała D jest dowolna to zamiast pisania 2D piszemy po prostu D (Gdyby w równaniu były 2 stałe, np. C+D moglibyśmy zastąpić to jedną stałą np. C )

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.