Całkowanie przed podstawianie

Całkowanie przed podstawianie jest jednym z dwóch najważniejszych sposobów rozwiązywania całek.

Jeżeli mamy funkcje f(x), g(x) takie, że:
f – funkcja ciągła
t’ – funkcja ciągła
Wtedy:
\( \int f(x)dx = \int f( t ) \cdot dt = F( t ) + C \)

gdzie \( F'(x) = f(x)\)

Całkowanie przez podstawianie wykorzystuje się w przypadku gdy wewnątrz prostej funkcji mamy coś skomplikowanego ( np. zamiast \( x^{3} \) mamy \( (2x+3)^{3} \) ).
Póki co wygląda skomplikowanie. Jednak po przeanalizowaniu przykładu powinno być lepiej:

\( \int x \sin x^{2} \)

Umiemy całkować funkcję \( \sin x \) jednak \( \sin x^{2} \) wygląda bardziej problematycznie.
Zauważmy, że \( (x^{2})’ = 2x \), a ponieważ pod całką mamy jeszcze x to bez żadnych problemów możemy zastosować całkowanie przed podstawianie:

Najpierw potrzebujemy 2 przy x. Uzyskamy to mnożąc i dzieląc przez 2 tzn:
\( \int x \sin x^{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 \int x \sin x^{2} = \frac{1}{2} \int 2x \sin x^{2} \)

Teraz skorzystamy z podstawienia:
\( t = x^{2} \)  , \( t’ = dt = (x^{2})’ = 2x \)
(wystarczy jak zapiszemy \( t = x^{2} \)  , \(dt = 2x \))

\( \frac{1}{2} \int 2x \sin x^{2} = \frac{1}{2} \int \sin t dt = \frac{1}{2} \cdot (- \cos t + C) \)

Teraz musimy jeszcze wrócić do zmiennej x ( \(t = x^{2} \) ):
\( \frac{1}{2} \cdot (- \cos t + C) = -\frac{1}{2} \cos x^{2} + C\)

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.